在旋轉矩陣之間插值

Question

我有兩個描述任意旋轉的旋轉矩陣。 （兼容4x4 opengl）

現在我想插入它們之間，以便它遵循從一個旋轉到另一個旋轉的徑向路徑。想想一個三腳架上的相機，然後旋轉。

如果我插入每個組件我得到一個擠壓結果，所以我認爲我需要只插入矩陣的某些組件。但哪些？

Answer 1

您需要將矩陣轉換爲不同的表示 - 四元數對此很好，內插四元數是一個明確定義的操作。

Answer 2

您必須將SLERP用於矩陣的旋轉部分，對於其他部分則必須使用SLERP。最好的方法是把你的矩陣變成四元數，並使用（更簡單的）四元數SLERP：http://en.wikipedia.org/wiki/Slerp。

我建議閱讀Graphic Gems II或III，特別是關於將矩陣分解爲簡單變換的部分。下面是斯賓塞W.托馬斯本章來源：

http://tog.acm.org/resources/GraphicsGems/gemsii/unmatrix.c

當然，我建議你學習如何做這自己。這真的不那麼難，只是很多煩人的代數。最後，這裏有一個如何把一個矩陣到四元，而回，由id Software公司一個非常好的論文：http://cache-www.intel.com/cd/00/00/29/37/293748_293748.pdf

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編輯：這是幾乎每個人都引用了公式，這是從1985年SIGGRAPH紙。

其中：

- qm = interpolated quaternion 
- qa = quaternion a (first quaternion to be interpolated between) 
- qb = quaternion b (second quaternion to be interpolated between) 
- t = a scalar between 0.0 (at qa) and 1.0 (at qb) 
- θ is half the angle between qa and qb 

代碼：

quat slerp(quat qa, quat qb, double t) { 
    // quaternion to return 
    quat qm = new quat(); 
    // Calculate angle between them. 
    double cosHalfTheta = qa.w * qb.w + qa.x * qb.x + qa.y * qb.y + qa.z * qb.z; 
    // if qa=qb or qa=-qb then theta = 0 and we can return qa 
    if (abs(cosHalfTheta) >= 1.0){ 
     qm.w = qa.w;qm.x = qa.x;qm.y = qa.y;qm.z = qa.z; 
     return qm; 
    } 
    // Calculate temporary values. 
    double halfTheta = acos(cosHalfTheta); 
    double sinHalfTheta = sqrt(1.0 - cosHalfTheta*cosHalfTheta); 
    // if theta = 180 degrees then result is not fully defined 
    // we could rotate around any axis normal to qa or qb 
    if (fabs(sinHalfTheta) < 0.001){ // fabs is floating point absolute 
     qm.w = (qa.w * 0.5 + qb.w * 0.5); 
     qm.x = (qa.x * 0.5 + qb.x * 0.5); 
     qm.y = (qa.y * 0.5 + qb.y * 0.5); 
     qm.z = (qa.z * 0.5 + qb.z * 0.5); 
     return qm; 
    } 
    double ratioA = sin((1 - t) * halfTheta)/sinHalfTheta; 
    double ratioB = sin(t * halfTheta)/sinHalfTheta; 
    //calculate Quaternion. 
    qm.w = (qa.w * ratioA + qb.w * ratioB); 
    qm.x = (qa.x * ratioA + qb.x * ratioB); 
    qm.y = (qa.y * ratioA + qb.y * ratioB); 
    qm.z = (qa.z * ratioA + qb.z * ratioB); 
    return qm; 
} 

來源：http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/realNormedAlgebra/quaternions/slerp/