什麼是浮點數的「偏差值」？

Question

在學習如何在計算機中表示浮點數時，我遇到了「偏差值」這個詞，我不太明白。

浮點數的偏差值與浮點數的指數部分的負值和正值有關。

浮點數的偏移值是127，這意味着總是將127添加到浮點數的指數部分。這樣做如何幫助確定指數是否爲負值或正值？

Answer 1

在單精度浮點上，您可以獲得8位來存儲指數。不是將它作爲一個帶符號的二進制補碼存儲起來，而是決定只需在指數中加127即可（因爲最低的可能是8位有符號的是-127），並將其存儲爲無符號數。如果存儲值大於偏差，則表示指數的值爲正數，如果它低於偏差，則爲負數，如果相等，則爲零。

Answer 2

b0lt已經解釋了偏差是如何工作的。有人猜測，也許你想知道爲什麼他們在這裏使用偏差表示，即使幾乎所有的現代計算機都基本上在其他地方使用二進制補碼（甚至不使用二進制補碼的機器，使用補碼或符號 - 大小，而不是偏見）。

IEEE浮點標準的目標之一是，您可以將浮點數的位作爲具有相同大小的（帶符號）整數進行處理，如果您將它們進行比較，則這些值將排序爲與它們表示的浮點數的順序相同。

如果對指數使用二進制補碼錶示，則小的正數（即具有負指數）看起來像是一個非常大的整數，因爲第二個MSB將被設置。通過使用偏差表示來代替，您不會遇到這種情況 - 浮點數中較小的指數總是看起來像一個較小的整數。

FWIW，這也是爲什麼浮點數通常先按符號排列，然後是指數，最後是最低有效位中的有效位數 - 這樣，您可以採用正浮點數，將這些位作爲整數，並對它們進行分類。當你這樣做的時候，結果將會有正確順序的浮點數。例如：

#include <vector> 
#include <algorithm> 
#include <iostream> 

int main() { 
    // some arbitrary floating point values 
    std::vector<double> vals = { 1e21, 1, 2.2, 2, 123, 1.1, 0.0001, 3, 17 }; 
    std::vector<long long> ivals; 

    // Take those floating point values, and treat the bits as integers: 
    for (auto &&v : vals) 
     ivals.push_back(*reinterpret_cast<long long *>(&v)); 

    // Sort them as integers: 
    std::sort(ivals.begin(), ivals.end()); 

    // Print out both the integers and the floating point value those bits represent: 
    for (auto &&i : ivals) 
     std::cout << i << "\t(" << *reinterpret_cast<double *>(&i) << ")\n"; 
} 

當我們運行這個，結果是這樣的：

4547007122018943789  (0.0001) 
4607182418800017408  (1) 
4607632778762754458  (1.1) 
4611686018427387904  (2) 
4612136378390124954  (2.2) 
4613937818241073152  (3) 
4625478292286210048  (17) 
4638355772470722560  (123) 
4921056587992461136  (1e+21) 

正如你所看到的，即使我們整理它們爲整數，浮點數，這些位也代表按正確的順序出來。

這對浮點數有一定的限制。儘管所有（非古代）計算機都同意正數的表示形式，但有三種表示法（最近才用於有符號數字）：有符號數，補碼和二進制補碼。

只要將這些位視爲一個整數並進行比較，就可以在使用整數的有符號幅度表示的計算機上正常工作。對於使用補碼或補碼的計算機，負數將按相反順序排序。由於這仍然是一個簡單的規則，所以編寫適用於它的代碼很容易。如果我們改變了sort調用上面是這樣的：

std::sort(ivals.begin(), ivals.end(), 
    [](auto a, auto b) { if (a < 0.0 && b < 0.0) return b < a; return a < b; } 
); 

...這將然後正確的排序都正數和負數。例如，輸入：

std::vector<double> vals = { 1e21, 1, 2.2, 2, 123, 1.1, 0.0001, 3, 17, -0.001, -0.00101, -1e22 }; 

會產生一個結果：

-4287162073302051438 (-1e+22) 
-4661071411077222194 (-0.00101) 
-4661117527937406468 (-0.001) 
4547007122018943789  (0.0001) 
4607182418800017408  (1) 
4607632778762754458  (1.1) 
4611686018427387904  (2) 
4612136378390124954  (2.2) 
4613937818241073152  (3) 
4625478292286210048  (17) 
4638355772470722560  (123) 
4921056587992461136  (1e+21) 

Answer 3

增加更多的細節上面的答案。

爲了表示0,infinity和NaN（Not-a-Number）在浮點數，IEEE決定使用特殊的編碼值。

• 如果指數字段的所有位均設置爲0，則浮點數爲0.0。

• 如果指數字段的所有位均設置爲1，並且小數部分的所有位均爲0，則浮點數爲無窮大。

• 如果指數字段的所有比特被設置爲1和小數部分的所有位不等於0，則該浮點數是NaN的。

因此，在單精度我們有8位來表示指數字段和有2個特殊值，所以我們基本上具有能夠以指數來表示256 - 2 = 254值。因此，我們可以有效地代表-126到127的指數，即254個值（126 + 127 + 1），1增加了0.1