如何從3點和半徑找到球體中心？

Question

我有三個三維點p1，p2和p3以及球體半徑。我如何從3點和半徑找到球體中心？

我希望有兩個3D點作爲解決方案，因爲有2個球符合要求。

謝謝。

Answer 1

1. 查找包含所有三個點的平面P.在這個平面上，這些點確定了一個三角形。

2. 找到這個三角形周圍的圓。讓C表示這個圓圈的中心 。

3. 查找行垂直於P和在C.

4. 穿越它在此行中，發現這些2個點與來自 圓的期望的距離。

我忽略了退化情況。

Answer 2

有很多方法可以將其正式化。下面是他們中的一個（基本相同，阿里建議，但更多的數學）：你想找到點

（a）由P1，P2，P3等距，與

（B）的距離爲準確R.

首先，找到外接圓按照http://en.wikipedia.org/wiki/Circumscribed_circle的中心（見關於「一個三角形的嵌在d維外接圓」的部分）：

p0 = cross(
    dot(p21, p21) * p31 - dot(p31, p31) * p21, 
    n 
)/2/dot(n, n) + p1, 

p21=p2-p1用，p31=p3-p1，n=cross(p21,p31)。

從項目的點（一個）位於上穿過這一點上，和垂直於包含P1，P2，P3的平面，所以它的方程是

p(t) = p0 + n * t 

替代此成

一個線

dist(p1, p)^2 = dot(p - p1, p - p1) = R^2 

得到二次方程

dot(n, n) * t^2 - 2*dot(n, p0-p1) * t + dot(p0-p1, p0-p1) = R^2 

其實，n和(p0-p1)是正交的，所以在左側的第二加數爲0，並且

t1 = sqrt((R^2 - dot(p0-p1, p0-p1))/ dot(n, n)), 
t2 = -sqrt((R^2 - dot(p0-p1, p0-p1))/ dot(n, n)) 

（注意如何p1在p0抵消）。用p(t)代替這些來得到答案。