如何用有損近似確定計算點的貝塞爾控制點？

Question

我有一個關於計算曲線貝塞爾控制的問題。問題是，如下圖所示：

我有一個排序列表中的紅點，包括C和D.我需要找到F和E的問題是，不是每個點有在曲線上（曲線不需要通過任何點，除了開始和結束）。它只是一個「近似」。

我已經閱讀以下內容：

• Finding the control point of bezier curves - 只有水平對齊手柄的工作，我沒有一箇中點，從啓動。也確實只有找到用戶可見的控制點，而不是F和E
• Parametric reconstruction of a NURBS curve - 如果你想紅點之間進行插值這很好，但是這不是我的目標

所以我就如何解決思路這就是：

1. 通過C和d
2. 如果點的個數是偶數計算從線的最遠點，看看列表中的前一個和下一個點，確定哪一個是遠離假想線並計算它們之間的中點
3. 三點不足以得到曲線的形狀，我需要的值在25％和75％。幸運的是，有幾種方法可以確定：均勻間隔方法，弧長和離散方法。
4. 現在我有5點（開始，25％，中，75％，結束）來描述我的曲線。我知道每個人的t值。曲線應該是這樣的：

從此，我需要點莫名其妙地插入貝塞爾公式，然後反向計算控制點......怎麼樣？

在此先感謝您的任何提示。

Answer 1

我寫下了如何在"Creating a curve from three points"部分的「Bézier曲線入門」中做到這一點，儘管您可能還需要閱讀前兩節，因爲它們解釋了支持理論和代碼。

重要信息是for any given t, there is a fixed point on the line {start,end} that connects to your on-curve point Bezier(t)。在下面的圖片中，例如，點C是總是與開始和結束的距離相同。根據您放置控制點的位置，曲線的樣子並不重要：對於t=0.5，C始終位於開始和結束之間的中間位置。此外，{C，Bezier（t）}和{Bezier（t），{}}的長度之間的比率是固定的，所以如果你知道第一個，你做了什麼，那麼你立即知道A去哪裏，所以你有所有需要的信息。

就這樣，只要你喜歡，你唯一的自由參數是切線在t，或者更準確地說，左，右插的距離，你可以重建曲線。沒有超過三分，這幾乎是一個猜測的價值，有幾個「美學上令人滿意」的選項，但沒有一個適用於你的情況：你有一堆圍繞你所選擇的值的點，那麼你可以對切線做出有根據的猜測基於你所選擇的t值的點，並簡單地重建立方貝塞爾使用它。

隨着本地支柱在t：

但考慮到你的數據，你可以得到一個更好的選擇。

Answer 2

最簡單的是最小二乘法逼近。如果B（t）是貝塞爾的方程，P _我是近似點，叔_我是相應的參數值，要最大限度地減少LSQ = ∑ _我 || B（噸_我 ）-P _i || = ∑ _我（（B _X（噸_我）-P _XI） +（（B _Ý（噸_我）-P _義）^{2 。}）您可以將F和E的座標作爲變量，所以你送四個線性方程組，在四個變量：∂/∂ _{˚F X}（LSQ）= 0，∂/∂ _˚FÝ（LSQ）= 0，∂/∂ _{ë X}（LSQ）= 0，∂/∂ _ëÝ（LSQ）= 0。他們可以使用標準方法解決。要找到相應的參數值，您可以使用弦長近似法，該法給出了很好的結果：t _i = || P _i - P _i-1 ||/total，total = || DP _n || + ∑ || P _i -P _i-1 || （採取P = C）。如果您需要最佳近似值，則可以使用迭代算法來細化參數。