兩組向量之間的四元數旋轉

Question

我希望能找到兩組兩個向量之間的旋轉，作爲四元數。在每一對中，矢量將彼此成直角並具有單位長度（基本上以正交基準爲基礎的兩個矢量）。

我當前的代碼看起來是這樣的：

Vector3 look1, up1, right1, look2, up2, right2; 
// look1, up1, right1 form orthonormal basis, 
// ditto with look2, up2, and right2 
Vector3 lookRotateAxis = look1 % look2; 
// operator% defined as cross product for convenience 
float lookRotateAngle = acos(look1 * look2); 
// operator* defined as dot product for convenience 
Quaternion lookRotate; 
lookRotate.makeRotation(lookRotateAngle, lookRotateAxis); 
up1Transformed = lookRotate.rotateVector(up1); 
Vector3 upRotateAxis = up1Transformed % up2; 
float upRotateAngle = up1Transformed * up2; 
Quaternion upRotate; 
upRotate.makeRotation(upRotateAngle, upRotateAxis); 
Quaternion finalRotation = upRotate * lookRotate; 
// quaternion finalRotation rotates basis 1 to basis 2 

我現在使用的方法是，首先每對找到兩個向量之間的四元數旋轉，然後乘以兩者之間的四元數旋轉每一對中的第二個向量。這導致了一個單一的四元數，我可以通過旋轉兩個矢量來得到另外兩個矢量。有沒有更簡單的方法來計算四元數，而不是通過乘以兩個旋轉，而是計算單個旋轉？

謝謝！

Answer 1

我認爲可以非常快速和有效地做你想做的事情。首先，你應該完成每一個正交正常的矢量對成正交基。這樣做的顯而易見的方法是通過前兩個向量的交叉乘積。順序很重要：如果你想u0映射到v0和u1映射到v1，那麼形成標準正交基{u0，u1，u2}，其中u2 = u0 x u1（叉積），也形成標準正交基{v0，v1 ，v2}其中v2 = v0 x v1，並將u2映射到v2。如果你不小心並且設置了v2 = v1 x v0，那麼最終會出現一個不可能的情況（試圖將右手座標系映射到具有旋轉的左手座標系）。所以請注意交叉產品中的術語順序。

既然您有兩個正交基，或者幀，那麼很容易構造表示從{x，y，z}幀到給定幀的旋轉的正交矩陣。 （再次，您必須考慮{x，y，z}框架的方向或手性......例如，您可能必須使用{x，z，y}。）矩陣乘以表示從該幀{X，Y，Z}到{U0，U1，U2}旋轉正交矩陣是

[u00 u01 u02] 
[u10 u11 u12] 
[u20 u21 u22] 

其中，根據用於計算機圖形通常的慣例，我們通過預先乘以向量我們的矩陣。例如，我們的矩陣對（1,0,0）的影響是

 [u00 u01 u02] 
[1 0 0] [u10 u11 u12] = [u00 u01 u02] 
     [u20 u21 u22] 

這正是我們想要的;對於{x，y，z}中的其他兩個基向量也是如此。

要將一幀映射到另一幀，我們通過幀{x，y，z}作爲中介。所以我們必須找到第一個正交矩陣的逆。幸運的是，反轉正交矩陣非常簡單：你只需要轉置。因此，在框架{U0，U1，U2}映射到幀{V0，V1，V2}，使用矩陣產品

[u00 u10 u20] [v00 v01 v02] 
[u01 u11 u21] [v10 v11 v12] 
[u02 u12 u22] [v20 v21 v22] 

讓我們看看會發生什麼，當我們輸入向量U1 = [U10，U11， u12]插入此矩陣產品：

   [u00 u10 u20] [v00 v01 v02]   [v00 v01 v02] 
[u10 u11 u12] [u01 u11 u21] [v10 v11 v12] = [0 1 0] [v10 v11 v12] = [v10 v11 v12] 
       [u02 u12 u22] [v20 v21 v22]   [v20 v21 v22] 

正如需要。這裏我們使用了公式u1。 u0 = 0，u1。 u1 = 1，u1。 u2 = 0，從{u0，u1，u2}是正交正常幀。

因此表示要旋轉的正交矩陣正是

[u00 u10 u20] [v00 v01 v02] 
[u01 u11 u21] [v10 v11 v12] 
[u02 u12 u22] [v20 v21 v22] 

執行矩陣乘法，以獲得一個矩陣，然後如果你想在四元數表示，從旋轉矩陣轉換通過類似的四元數方法在http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix#Quaternion中描述。