如何計算具有給定隱式函數的貝塞爾曲線的控制點？

Question

我想寫一個程序來繪製一個貝塞爾曲線段實現我的教科書的知識。我想嘗試使用隱式函數來繪製繪圖程序。我希望我的程序按照以下方式工作。

• 用戶輸入一個隱式函數，假設y = 2x^3。
• 計算控制點（不知道怎麼辦）
• 平局貝塞爾曲線（完成）
• 下一個功能

從理論上講，我可以借鑑直接代換曲線，但我可以做對曲線進行一些修改，我想實現我所學到的東西，所以我想明智地做到這一點（直接替換看起來很愚蠢）.Thz ^^

編輯1：我們假設邊界由用戶提供

Answer 1

第一步是生成曲線的參數化表達式。給定的例子可以非常容易地轉化：

c(t) = (t, 2 * t^3)^T 

現在Monomial basis表達該曲線：

c(t) =/0 1 0 0 \ * (1, t, t^2, t^3)^T 
     \ 0 0 0 2/
    = C * M(t) 

在這個表達式中，第一矩陣是C係數矩陣。我們所需要做的就是將這個矩陣轉換成伯恩斯坦基。該轉換單項式基礎Bernstein基的矩陣是：

 /1 - 3t + 3t^2 - t^3 \ /1 -3 3 -1 \ /1 \ 
B(t) = |  3t - 6t^2 + 3t^3 | = | 0 3 -6 3 | * | t | 
     |   3t^2 - 3t^3 | | 0 0 3 -3 | | t^2 | 
     \     t^3/ \ 0 0 0 1/ \ t^3/

這個方程可以反轉得到：

 /1 1 1 1 \ 
M(t) = | 0 1/3 2/3 1 | * B(t) 
     | 0 0 1/3 1 | 
     \ 0 0 0 1/

代入曲線方程，我們得到：

c(t) = C * M(t) 
     /1 1 1 1 \ 
    = C * | 0 1/3 2/3 1 | * B(t) 
      | 0 0 1/3 1 | 
      \ 0 0 0 1/

可以計算第一個矩陣乘積：

c(t) =/0 1/3 2/3 1 \ * B(t) 
     \ 0 0 0 2/

這爲您提供了貝塞爾曲線的控制點：

p0 = (0, 0)^T 
p1 = (1/3, 0)^T 
p2 = (2/3, 0)^T 
p3 = (1, 2)^T 

這非常程序可以應用到任何多項式曲線。

一個方程的形式

y = a + b * x + c * x^2 + d * x^3 

一般的解決方法是：

p0 = (0, a)^T 
p1 = (1/3, a + b/3)^T 
p2 = (2/3, a + 2b/3 + c/3)^T 
p3 = (1, a + b + c + d)^T