評估1 /的tanh（X） - 1/X爲非常小x

Question

我需要計算量

1/tanh(x) - 1/x 

爲x > 0，其中x既可以是非常小和非常大的。

漸近的小x，我們有

1/tanh(x) - 1/x -> x/3 

和大x

1/tanh(x) - 1/x -> 1 

總之，從10^-7小舍入誤差計算表達式時，已經導致表達是精確評估爲0：

import numpy 
import matplotlib.pyplot as plt 


x = numpy.array([2**k for k in range(-30, 30)]) 
y = 1.0/numpy.tanh(x) - 1.0/x 

plt.loglog(x, y) 
plt.show() 

Answer 1

對於非常小的x，可以使用the Taylor expansion of 1/tanh(x) - 1/x around 0，

y = x/3.0 - x**3/45.0 + 2.0/945.0 * x**5 

錯誤是命令O(x**7)，所以如果選擇10^-5作爲斷點，則相對誤差和絕對誤差將遠低於機器精度。

import numpy 
import matplotlib.pyplot as plt 


x = numpy.array([2**k for k in range(-50, 30)]) 

y0 = 1.0/numpy.tanh(x) - 1.0/x 
y1 = x/3.0 - x**3/45.0 + 2.0/945.0 * x**5 
y = numpy.where(x > 1.0e-5, y0, y1) 


plt.loglog(x, y) 
plt.show() 

Answer 2

使用任意小數精度Python包mpmath。例如：

import mpmath 
from mpmath import mpf 

mpmath.mp.dps = 100 # set decimal precision 

x = mpf('1e-20') 

print (mpf('1')/mpmath.tanh(x)) - (mpf('1')/x) 
>>> 0.000000000000000000003333333333333333333333333333333333333333311111111111111111111946629156220629025294373160489201095913 

它變得非常精確。請致電mpmath plotting。 mpmath與matplotlib配合良好，因此您應該可以解決您的問題。

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下面是如何mpmath融入你上面寫的代碼示例：

import numpy 
import matplotlib.pyplot as plt 
import mpmath 
from mpmath import mpf 

mpmath.mp.dps = 100 # set decimal precision 

x = numpy.array([mpf('2')**k for k in range(-30, 30)]) 
y = mpf('1.0')/numpy.array([mpmath.tanh(e) for e in x]) - mpf('1.0')/x 

plt.loglog(x, y) 
plt.show() 

Answer 3

一個可能更簡單的解決方案來克服這種情況正在改變數據類型下這numpy的是操作：

import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 

x = np.arange(-30, 30, dtype=np.longdouble) 
x = 2**x 
y = 1.0/np.tanh(x) - 1.0/x 

plt.loglog(x, y) 
plt.show() 

使用longdouble數據類型並提供正確的解決方案，而舍入錯誤。

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我沒悅目修改你的榜樣，你的情況，你需要修改的唯一的事情是：

x = numpy.array([2**k for k in range(-30, 30)]) 

到：

x = numpy.array([2**k for k in range(-30, 30)], dtype=numpy.longdouble)