計算期望（比如對數正態）中的R

Question

在R，I需要計算條件期望F（z）的= E [X | X < Z]，其中X分佈根據參數分佈（即，對數正態分佈）。

爲了計算例如F（2）我已經做了以下內容：

zz <- rlnorm(1000,meanlog=.7,sdlog=.5) 
mean(zz[zz<2]) 

不過，我不知道是否有一個更直接的方式，不需要生成樣本。

Answer 1

您正在查看truncated distribution。將x * f(x)積分爲(-Inf, z)，然後將該積分除以F(z)。 [f(x)是無條件的PDF; F(x)是無條件CDF。]

## integrand 
f <- function(x, mu, sigma) x * dlnorm(x, mu, sigma) 

## conditional expectation 
g <- function(z, mu, sigma) { 
    int <- integrate(f, lower = -Inf, upper = z, mu = mu, sigma = sigma) 
    int$value/plnorm(z, mu, sigma) 
    } 

## theoretical value 
g(2, 0.7, 0.5) 
# [1] 1.401472 

## sample estimate 
set.seed(0) 
zz <- rlnorm(1000,meanlog=.7,sdlog=.5) 
mean(zz[zz<2]) 
# [1] 1.40316 

我已經刨去寫乳膠一行或兩行說明了爲什麼我們需要一個整體如上，但它看起來像維基百科的鏈接是足夠的信息。

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For some reason, I am not able to plot the resulting function g . plot(1, g(1:10,0.7,0.5)) is giving an error.

要繪製，你需要使它成爲一個量化的功能第一g。有一些關於繪製積分的帖子，如R plotting integral。下面是我們可以做的：

vg <- Vectorize(g, vectorize.args = "z") 
plot(1:10, vg(1:10, 0.7, 0.5), type = "l") 

Answer 2

宋哲元通過的回答啓發，做了一點點研究上的功能，其中的條件概率密度爲截斷PDF的條件期望。

據我，mean(zz[zz < a])是不在有條件的宇宙X <一個的條件期望，因爲這是用於生成ZZ值是原來的對數正態分佈的PDF而不是的PDF有條件截短的pdf。

爲了計算條件期望我們必須使用截斷PDF從截斷分佈和不是原來的對數正態分佈得出樣本，然後計算期望。

如可以看到的，的mean(zz[zz < a])值總是從條件期望不同使用期望具有條件（截斷）PDF計算，差值隨着一個增加（任何直覺爲什麼？）。

# compute the truncated pdf with x < a 
tr.pdf <- function(x, a, m, s) (x < a) * (dlnorm(x, m, s)/plnorm(a, m, s)) 

expect.f <- function(x, a, m, s) x * tr.pdf(x, a, m, s) 

cond.expect.f <- function(a, m, s) { 
    return(integrate(expect.f, lower = -Inf, upper = a, a = a, m = m, s = s)$value) 
} 

m <- .7 
s <- .5 
curve(tr.pdf(x, a=2, m, s), 0, 5, col='red', ylab='y') 
curve(tr.pdf(x, a=2.5, m, s), 0, 5, col='green', add=TRUE) 
curve(tr.pdf(x, a=3, m, s), 0, 5, col='blue', add=TRUE) 
curve(dlnorm(x, m, s), 0, 5, add=TRUE) 

n <- 100000 
zz <- rlnorm(n,meanlog=m,sdlog=s) 

a <- 2 
mean(zz[zz<a]) 
#[1] 1.404279 
cond.expect.f(a, m, s) 
#[1] 1.401472 

a <- 2.5 
mean(zz[zz<a]) 
#[1] 1.622174 
cond.expect.f(a, m, s) 
#[1] 1.617784 

a <- 3 
mean(zz[zz<a]) 
#[1] 1.794217 
cond.expect.f(a, m, s) 
#[1] 1.787772 

對這個有什麼想法？