使用qr.solve的簡單線性方程給出了非常不好的結果

Question

我想弄清楚如何求解一個近似線性方程組（即在解中存在錯誤，並且我希望它最小化）。

爲了理解/驗證過程，我想出了一個簡單的例子：我給了一堆5x + 4x^2 + 3x^3，答案中有0-5％的錯誤。

> a 
     [,1] [,2] [,3] 
    [1,] 1  1  1 
    [2,] 2  4  8 
    [3,] 3  9  27 
[...] 
[98,] 98 9604 941192 
[99,] 99 9801 970299 
[100,] 100 10000 1000000 

> b 
    [1]  12.04  48.17  130.02  269.93  505.75  838.44 
    [7] 1202.04 1911.69 2590.51 3381.00 4538.80 5846.19 
... 
[97] 2824722.45 2826700.98 3012558.52 2920400.25 

當我嘗試解決這個使用qr.solve，

> qr.solve(a,b) 
[1] 85.2896286 -0.8924785 3.0482766 

的結果是完全關閉（想5,4，3）。我確定我錯過了一些明顯的東西。或者也許我對多項式的實驗本質上是不好的？ （？如果是這樣，爲什麼）

Answer 1

我不能與附加誤差重現此問題：

a <- cbind(1:100, (1:100)^2, (1:100)^3) 
set.seed(42) 
b <- a %*% (5:3) + rnorm(100, sd = 0.1) 
qr.solve(a, b) 
#   [,1] 
#[1,] 4.998209 
#[2,] 4.000056 
#[3,] 3.000000 

我可以用相對誤差再現它，但是這不是真的奇怪，因爲錯誤然後由主導三階積分的大小：

a <- cbind(1:100, (1:100)^2, (1:100)^3) 
set.seed(42) 
b <- a %*% (5:3) * rnorm(100, mean = 1, sd = 0.1) 
qr.solve(a, b) 
#    [,1] 
#[1,] -1686.611970 
#[2,] 68.693368 
#[3,]  2.481742 

請注意，第三個係數是關於你期望的（甚至在你不可重現的例子中更是如此）。