如何將浮點值轉換爲可以精確表示特定小數位數的最近值？

Question

在C++中是否有一個算法允許我在給定浮點值V（例如double或float）的情況下返回給定方向上的最接近的值（向上或向下） 正好小於或等於指定的小數位數D？

例如，給定

T = double 
V = 670000.08267799998 
D = 6 

對於方向朝= + INF我想的結果是670000.082678，和用於方向朝= -INF我想的結果是670000.082677

這有點類似於std :: nexttoward（），但有一個限制，即'下一個'值需要用最多D個小數位精確表示。我已經考慮過一個天真的解決方案，包括分離出小數部分，並用10^D縮放它，截斷它，然後再用10^-D縮放它，並將它重新粘到整數部分上，但是我不知道相信這可以保證結果值在底層類型中完全可以表達。

我希望有一種方法可以正確地做到這一點，但到目前爲止，我一直無法找到一個。

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編輯：我覺得我原來的解釋沒有正確傳達我的要求。在@ patricia-shanahan的建議下，我會試着描述我的更高層次的目標，然後在這個背景下稍微改變一下這個問題。

在最高級別，我需要這個例程的原因是由於一些業務邏輯，其中我必須採用雙值K和百分比P，將其分成兩個雙分量V1和V2，其中V1〜P百分比的K和V1 + V2〜= K.捕獲的是，V1在通過有線協議發送給第三方之前用於進一步計算，該協議接受字符串格式的浮點值，最大值爲D小數位數。由於發送給第三方的值（以字符串格式）需要與使用V1進行計算的結果（雙格式）進行協調，因此我需要使用某個函數F（）來「調整」V1，以使其爲儘可能接近K的P百分比，而仍然可以使用至多D小數位的字符串格式精確表示。 V2沒有V1的限制，可以計算爲V2 = K-F（V1）（可以理解並且可以接受的是，這可能導致V2使得V1 + V2非常接近但不完全等於K） 。

在較低的水平，我期待編寫程序來「調整」 V1的東西有以下特徵：

double F(double V, unsigned int D, bool roundUpIfTrueElseDown); 

，其中輸出是通過取V和（如果必要的話計算，並且按bool param指定的方向）將其舍入到Dth小數位。

我的期望是，當V被序列化了如下

const auto maxD = std::numeric_limits<double>::digits10; 
assert(D <= maxD); // D will be less than maxD... e.g. typically 1-6, definitely <= 13 
std::cout << std::fixed 
      << std::setprecision(maxD) 
      << F(V, D, true); 

然後輸出包含超過嗞小數位只有零。

重要的是要注意，出於性能原因，我正在尋找F（）的實現，它不涉及在雙精度和字符串格式之間來回轉換。雖然輸出最終可能會轉換爲字符串格式，但在很多情況下，邏輯會在必要之前提前進行，我希望避免這種情況下的開銷。

Answer 1

這是一個程序的草圖，可以完成所要求的任務。它主要是爲了找出這是否真的是想要的。我用Java編寫它，因爲該語言對我想依賴的浮點算法有一定的保證。我只使用BigDecimal來精確顯示雙精度，以顯示答案在小數點後不超過D位數的情況下完全可表示。

具體來說，我依賴於雙重行爲根據IEEE 754 64位二進制算術。對於C++，這很可能，但不能保證這個標準。我還依賴於Math.pow對於簡單確切的情況，精確的除以2的冪的精確性，以及能夠使用BigDecimal獲得精確的輸出。

我還沒有處理邊緣情況。最大缺失的部分是處理大數量的大數字D.我假設包圍二進制分數正好表示爲雙打。如果他們有超過53個有效位，情況就不一樣了。它還需要代碼來處理無限和NaN。對二次冪的劃分正確性的假設對於次正規數是不正確的。如果你需要你的代碼來處理它們，你將不得不糾正。

它基於這樣一個概念，即一個數字可以精確表示爲小數點後不超過D位的小數，並且可以精確地表示爲二進制小數，必須可以表示爲分母2的小數點D的力量。如果分母中需要2的更高次冪，則小數點後的小數點後面將需要超過D位。如果它根本不能被表示爲具有兩個冪分母的分數，那麼它不能完全表示爲雙精度。

雖然我跑了一些其他的情況進行說明，主要輸出：

670000.082678 to 6 digits Up: 670000.09375 Down: 670000.078125

下面是程序：

import java.math.BigDecimal; 

public class Test { 
    public static void main(String args[]) { 
    testIt(2, 0.000001); 
    testIt(10, 0.000001); 
    testIt(6, 670000.08267799998); 
    } 

    private static void testIt(int d, double in) { 
    System.out.print(in + " to " + d + " digits"); 
    System.out.print(" Up: " + new BigDecimal(roundUpExact(d, in)).toString()); 
    System.out.println(" Down: " 
     + new BigDecimal(roundDownExact(d, in)).toString()); 
    } 

    public static double roundUpExact(int d, double in) { 
    double factor = Math.pow(2, d); 
    double roundee = factor * in; 
    roundee = Math.ceil(roundee); 
    return roundee/factor; 
    } 

    public static double roundDownExact(int d, double in) { 
    double factor = Math.pow(2, d); 
    double roundee = factor * in; 
    roundee = Math.floor(roundee); 
    return roundee/factor; 
    } 
} 

Answer 2

總重寫。

基於OP的新的需求和使用電力的-2 @Patricia沙納漢，簡單的C解決方案的建議：

double roundedV = ldexp(round(ldexp(V, D)),-D); // for nearest 
double roundedV = ldexp(ceil (ldexp(V, D)),-D); // at or just greater 
double roundedV = ldexp(floor(ldexp(V, D)),-D); // at or just less 

這裏添加超越@Patricia Shanahan精解的唯一的事情是C代碼以匹配OP的標籤。

Answer 3

一般來說，小數不能精確地表示爲二進制分數。有一些例外情況，例如0.5（½）和16.375（16＆＃x215c;），因爲所有二進制分數都可精確表示爲小數。 （這是因爲2是10的因子，但10不是2的因子，或者是2的任何冪）。但是如果一個數不是2的某個冪的倍數，那麼它的二進制表示將是一個無限長的循環序列，就像＆＃x2153;以十進制（.333 ....）。

標準C庫提供宏DBL_DIG（通常爲15）;具有許多十進制精度的十進制數可以轉換爲double（例如，scanf），然後轉換回十進制表示（例如，使用printf）。要在相反的方向上走向而不會丟失信息 - 從double開始，將其轉換爲十進制，然後將其轉換回來 - 您需要17位十進制數字（DBL_DECIMAL_DIG）。 （我引用的值是基於IEEE-754 64位雙打的）。

提供接近問題的一種方法是將不超過DBL_DIG精度的十進制數字視爲浮點數的「準確但不是真正準確」的表示形式，如果浮點數是最接近十進制數值的浮點數。找到浮點數的一種方法是使用scanf或strtod將十進制數轉換爲浮點數，然後嘗試使用附近的浮點數（使用nextafter進行探索）以找出哪些浮點數轉換爲相同用DBL_DIG表示精度的數字。

如果您信任的標準庫實施不會太遙遠，你可以轉換你的double使用sprintf十進制數，增加在所需的數位小數字符串（這只是一個字符串操作），然後將其轉換回double與strtod。

Answer 4

在C++中，整數必須用二進制表示，但浮點類型可以有十進制表示。

如果FLT_RADIX從<limits.h>是10或10的某個倍數，那麼您的精確表示小數值的目標是可以實現的。

否則，一般來說，這是不可能實現的。

因此，作爲第一步，嘗試找到FLT_RADIX爲10的C++實現。

我不擔心算法或其效率，直到C++實現安裝並證明可以在您的系統上運行。但是作爲一個暗示，你的目標似乎與「四捨五入」的操作有些相似。我認爲，在獲得了我的十進制浮點C++實現後，我開始研究四捨五入的技巧，例如，使用Google搜索，也許維基百科，＆hellip;