雙精度浮點數如何轉換爲單精度浮點格式？

Question

將數字從double-precision floating-point format轉換爲single-precision floating-point format會導致精度損失。用於實現此轉換的算法是什麼？

大於3.4028234e+38或小於-3.4028234e+38的數字是否簡單地減少到相應的限制？我覺得轉換過程比這個更復雜一些，但我找不到它的文檔。

Answer 1

最常見的浮點格式是IEEE 754標準中規定的二進制浮點格式。我會回答你的問題這些格式。標準的新版本（2008）中也有十進制浮點格式，除IEEE 754標準外，還有其他格式，但754二進制格式是最常見的格式。關於四捨五入的一些信息以及該標準的鏈接均在此Wikipedia page中。

將雙精度轉換爲單精度的處理方式與四捨五入任何操作的結果相同。 （例如，加法，乘法或平方根具有精確的數學值，並且該值根據規則進行四捨五入以產生從操作返回的結果。爲了轉換，輸入值是精確的數學值，並且它是圓整的。）

通常，計算環境具有一些默認舍入模式。 （各種編程語言可能會提供更改默認舍入模式的方法，或者特別針對每個操作來指定它。）默認舍入模式通常是舍入到最近的。其他則是朝向零的方向，朝向正無窮的方向（向上），以及朝向負方向的無窮大（向下）。

在圓到最近的模式中，返回最接近精確值的可表示數。如果存在平局，則返回具有偶數低位（在其分數或有效數中）的數字。爲此，無窮有效地表現爲好像它是有限數字模式中的下一個值。在單精度中，最大有限數是0x1.fffff8p127,0x1.fffffap127,0x1.fffffcp127和0x1.fffffep127。 （單精度有效數中有24位，所以該位的一步是最後一位十六進制數中的一個2）。爲了舍入目的，無窮大就好像它在0x2p128一樣。所以，如果確切的結果更接近0x1.fffffep127（因此，小於0x1.ffffffp127），它將舍入到0x1.fffffep127。如果它大於或等於0x1.ffffffp127，則舍入到無窮大。負無窮的情況是對稱的。

在向無窮大模式中，返回大於或等於精確值的最接近的可表示值。因此，任何高於0x1.fffffep127的值都會循環到無窮大。向負無窮大回歸返回小於或等於確切值的最接近的可表示值。 Round-toward-zero返回最接近零值的可表示值。

IEEE 754標準只規定結果;它沒有指定算法。用於實現舍入的方法取決於每個實現。