爲什麼這個方程的最大誤差是4096 * Number.EPSILON？

Question

在this question我寫了一個腳本來查找存儲一個值作爲總和的一部分，然後再返回可能產生的最大錯誤。

我發現最大錯誤與Number.EPSILON：

maximumError/Number.EPSILON是一個不錯的輪數，8192 Math.log2(8192)是12.999999999999998，所以...... 13

有什麼關係這個舍入錯誤和Number.EPSILON？

爲什麼它是一個很好的因子2？ 13「是什麼意思」是什麼？

UPDATE：腳本剛剛找到，其通過分割Number.EPSILON 3.637978807091713e-12的最大誤差爲16384 Math.log2（16384）〜= 14

Answer 1

任何浮點值的值大於1 （或小於-1）除以Number.EPSILON必須爲爲整數。 （這並不一定值的真專門的範圍1到-1內部。）

回想一下，浮點是位串(m,e)（尾數和指數），其中它們代表了數的值是m * 2^e的2元組。尾數設置值作爲一個位串，且指數移位的位到一定的功率在當前的ECMAScript 6草案的Number.EPSILON的定義是：

和最小的值1之間的差大於1的可表示爲一個數字值

我們採取的1000...0001尾數（1在尾數位串的最大和最小的數字）獲得ε和降級換檔尾數的二進制值1.000...0001負指數。摘要1，你有epsilon。注意，這是不最小的可能的浮點值，但它是的精度提供給浮點值大於1的最小電平（或小於-1）*

至於爲什麼總是生成一個整數，這很容易解釋：對於大於1的數字，epsilon是最小可能的精度值。epsilon不可能不均勻地分配大於1的值，因爲這會表明數字有一些小於epsilon的小數部分，這在定義上是不可能的（因爲epsillon是>1數字的最小精度級別）。隨意在你的數字鍵盤上打鼓並將該數字除以Number.EPSILON - 你會看到結果是一個整數。

至於爲什麼結果總是2的冪，這似乎是因爲你的所有maximumError結果到目前爲止有一個尾數，這也是2個（可能是它們都具有的1尾數）的功率，所以它只是2的權力之間的劃分（因此結果也必須是2的冪）。

注意，所有產生這種情況下，a值的是那些具有在最低位一個1，所以它們的形式(2^n) + 1（和1本身）的：5，9，33，65等。似乎在這裏有一些數學性質，其中乘法不恢復全部值，並且原始值爲100...000.1111111111...。它的數量很少，0.000000...000001。這個數字的格式表示爲1 * 2^-n，所以尾數永遠是1。

您可能會發現感興趣的num.toString(2)的二進制表示：對於非常大或非常小的值，它清楚地顯示二進制尾數偏移零點，由* 2^e的指數位移造成。例如，請參見淋漓盡致出，比特移位尾數在Number.MAX_VALUE.toString(2)：

1111111111111111111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 

事實上，錯誤被生長的唯一原因是因爲在100...000.1111111111...尾隨1 S的數量被減少，由於固定的尺寸尾數。試想一下：

> var a = 9, b = 510; ((a/(a+b))*(a+b)).toString(2); 
"1000.1111111111111111111111111111111111111111111111111" 
> var a = 17, b = 4194; ((a/(a+b))*(a+b)).toString(2); 
"10000.111111111111111111111111111111111111111111111111" 

注意，這些字符串是完全一樣的長度，但小數點左邊是在第二種情況下1個數量級。這是因爲尾數只能保持一定數量的二進制數字。在邏輯上應該是無限數量的1 s將成爲儘可能多的1 s將適合浮點數。考慮十進制的類似情況，其中0.999... is actually equal to 1;因此，在二進制0.11111...等於1，但我們沒有空間來表示無限數字。

由於隨着小數點左邊的增長，拖尾數量減少，因此0.000...0001越來越接近小數點，因此誤差容限也會增加。

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*：考慮一個簡單的尾數，如10001。如果你想使用尾數來儘可能小的值，你可以使用一個巨大的負指數產生一個值，如0.00000000000010001。但是，如果您需要保留大於1的值（與考慮Number.EPSILON的定義時一樣），則只能將其降至1.0001。最後的1可以走多遠的尾數大小，當領先1必須留在小數點左側。如果你只是試圖創造最小的價值，可以少於1，你可以將尾數更靠右移。