使用FFT對振盪函數進行傅里葉積分/傅立葉變換

Question

f(x) = cos(x^2)和g(k) = pi^0.5 cos((pi*k)^2 - pi/4)是傅里葉對。

我想重現通過傅立葉g(k)使用FFT整合f(x)，即

逼近Integrate[ f(x) * exp(2 pi * ikx), {x, -inf, inf} ]

與Sum[ fn * exp(2 pi * ik x_n), {n, 0, N-1} ] * Delta_x

然而，結果與g(k)僅在非常小的k範圍同意，如果同意在所有（對於平滑的傅里葉對，例如高斯函數，相同的代碼運行良好）。我想這個問題是爲N和Delta_x選擇合適的值。有沒有關於如何選擇它們的既定規則？我在哪裏可以找到相關文獻（我已閱讀過數值配方13.9節，但它似乎無法解決我的問題）？

Answer 1

FFT本質上具有長度爲N的矩形窗口的窗口f（x）。這將針對在該窗口內不完全週期性的任何k產生不同的g（k）結果。你可以嘗試選擇Delta_X和N，以便它們的結果是所需k的精確整數倍。