Circle to tangent mapping

Question

假設給出一個包含中心O的AB線的圓，使得A和B位於圓上（OA = OB = radius）。在點A上繪製切線t，並且我應該計算圓的某些點（a，b，c，d ...）到切線上的點（at，bt，ct，dt， ...），使得距離Aa（沿圓的距離）與距離Aat（沿着切線的距離）相同（並且距離Ab，Ac，Ad相同）。但是，在這裏，應該考慮一定的約束條件：那些從A到B的圓的一側的圓中的點（在（a，b，c，d）之間）應該放在切線的一側（更接近），而從圓形A到B另一側的那些應放置在另一側。基本上，圓應該在B處分割，然後映射到切線。我希望這個解釋足夠了。

應該指出，我有關於A，B，O，a，b，c，d座標的信息。我應該計算（at，bt，ct，dt）。 爲了解決這個問題，我有兩種方法，但我不確定我如何確保它們始終正常工作。我計算A點的切線方程，然後對每個點（a，b，c，d）計算距A的距離（沿着圓），並用這些距離來計算（at ，bt，ct，dt ...）沿着切線。我在這裏不知道的是如何計算從A到（a，b，c，d）的距離 。問題是'適當的一方'的決心，這意味着我應該如何確定點是否應該映射在切線的一側或另一側。什麼是確定這一點的方法。 2）我計算A點的切線方程，然後對每個點（a，b，c，d）計算距A的距離（沿着圓），並用這些距離來計算（at ，bt，ct，dt ...）沿着切線。爲了確定給定點的「適當的一面」，我可以使用該點對該切線的投影。但即使如此，我如何知道'哪一方是哪一方'？也許有更簡單的方法來做到這一點。

任何有關如何做到這一點的建議是值得歡迎的。如果我不夠精確，我會詳細說明。

Answer 1

要確定您正在使用的圓的哪一個「邊」，您基本上需要確定您所在的線的哪一側是AB。有關答案，請參閱Determine which side of a line a point lies。

Answer 2

更好的建議是計算一個座標變換，該座標變換將圓形映射到以原點爲中心的單位圓，以便A將分別具有座標（1,0）（和B分別爲-1,0 ））。 轉換應該隨着旋轉而擴大。 現在，Aa上的距離就是以弧度測量的角度aOA。所以你可以很容易地計算出來，它是（1，atan2(y, x)）其中（x，y）是a的座標。

現在，您唯一需要的是返回到原始座標系，應用逆變換。