計算的MATLAB與非常小的值

Question

我在Matlab做一個函數來計算下面的函數功能：

此功能有：

這是我在matlab中實現的函數：

function [b]= exponential(e) 
%b = ? 
b= (exp (e) -1)/e; 

當我用非常小的值測試函數時，實際上函數的極限值爲1，但是當數值非常小（例如1 * e-20）時，極限值爲零？這種現象的解釋是什麼？難道我做錯了什麼？。

x= 10e-1 , f (x)= 1.0517 

x= 10e-5 , f (x)= 1.0000 

x= 10e-10 , f (x)= 1.0000 

x= 10e-20 , f (x)= 0 

Answer 1

的問題是，exp(x)約爲1+x，但被評價爲1由於1是從浮點表示1+x難以區分。有一個MATLAB函數expm1(x)（這是exp(x)-1實施了小x）避免這個問題，非常適用於小型的論點：

>> x=1e-100;expm1(x)/x 
ans = 
    1 

Answer 2

我認爲這與你的數字的精度有關。總之，MATLAB的默認精度是5位數。您可以使用format long將其擴展到15。檢查出this article有關MATLAB精度的更多信息

Answer 3

我必須嘗試使用​​我的LIMEST工具。與任何自適應工具一樣，它可能會被愚弄，但它通常很不錯。

fun = @(x) (exp(x) - 1)./x; 

正如你所看到的，有趣的問題在零。

fun(0) 
ans = 
    NaN 

但如果我們接近零評估的樂趣，我們看到這是近1

format long g 
fun(1e-5) 
ans = 
      1.00000500000696 

LIMEST成功，甚至能夠提供極限的錯誤估計。

[lim,err] = limest(fun,0,'methodorder',3) 

lim = 
    1 

err = 
     2.50668568491927e-15 

LIMEST使用多項式逼近的序列，加上自適應理查森外推，以產生兩個極限估計和對限制不確定性的量度。

那麼你看到了什麼問題？你看到的失敗是簡單的減法取消錯誤。因此，看的

即使格式長克，實驗值（1E-20）的雙精度值的值是簡單地過於接近1，當我們減去關閉1，其結果是精確的零。除以任何非零值，我們得到零。當然，當x實際上爲零時，我們有一個0/0的條件，所以當我嘗試時，結果是NaN。

讓我們看看高精度會發生什麼。我將使用我的HPF工具進行計算，並使用64位十進制數字。

DefaultNumberOfDigits 64 
exp(hpf('1e-20')) 
ans = 
1.000000000000000000010000000000000000000050000000000000000000166 

看到，當我們sutract斷1,1和指數值之間的差小於EPS（1），因此必須MATLAB產生零值。

exp(hpf('1e-20')) - 1 
ans = 
1.000000000000000000005000000000000000000016666666666670000000000e-20 

的沒有提出的問題是我怎麼會選擇精確地產生在MATLAB該功能。顯然，你不想像我那樣使用強力和定義樂趣，因爲你失去了很多準確性。我可能只是在零點附近的有限區域內擴展泰勒級數，並且如上所述使用有趣的x來顯着區別於零。