簡化布爾代數表達式

Question

從一個減法器具有三個輸入和兩個輸出我獲得用於所述第二輸出Z2以下布爾式（在該位的「貸款」向左）的真值表開始：

Z2 = x0'x1'x2 + x0'x1x2' + x0'x1x2 + x0x1x2

（其中X0'裝置NOT X0）。

簡化它：Z2 = X2（X0⊕X1） '+ X1（X0⊕×2）' + X1X2

這意味着：Z2 = X2（X0 XNOR X1）+ X1 （x0 XNOR x2）+ x1x2

我可以簡化更多嗎？我試過z2 =（x0 XNOR x1）+（x0 XNOR x2）+ x1x2但它並沒有成功。

Answer 1

您的原始表達式有12個變量引用和16個運算符。您的簡化包含8個變量引用和7個運算符。這裏是6所變量引用和6個運算符的表達式：

Z2 = x0x1x2 + X0' （X1 + X2）

我不知道這是否是在任何意義上最小的。

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你問我怎麼找到這個表情。我沒有從你的簡化開始，我從你在評論中引用的真值表開始。我在這裏重現：

當我看着表尋找模式，我看到它看起來像一個視交叉或反對稱矩陣：如果我翻轉最後一列顛倒然後採取補所有項目的結果都是原始列。 （我不知道這種對稱性的適當術語，這些是我腦海中想到的術語。）我試圖將這種對稱性封裝在一個邏輯表達式中，但失敗了。

這使我看到了最後一列的上半部分和下半部分。上半部分大部分是下半部分，下半部分大部分是零。然後它讓我感到上半部分看起來像是二進制或運算的真值表，而下半部分看起來像是二進制AND運算。當然，上半部分用於x0'，下半部分用於x0。把這些事實放在一起給了我我的表達。

我通過查看是否可以將原始表達式操縱到我的地方來確認表達式。我可以，做

z2 = x0'x1'x2 + x0'x1x2' + x0'x1x2 + x0x1x2 
    = x0'(x1'x2 + x1x2' + x1x2) + x0x1x2 
    = x0'(x1 + x2) + x0x1x2 
    = x0x1x2 + x0'(x1 + x2) 

從第二到第三行的過渡，當然，等同於承認二進制或真值表，所以這不是我的實際發現的方法非常不同。

後一種方法可能更容易轉移到其他問題：從多個術語中排除一個共同因素。我的實際方法更有趣，但不易轉讓。我最喜歡的數學定義是「模式研究」，它解釋了爲什麼這個方法很有趣。