可精確表達爲浮點數/雙精度的整數範圍

Question

可以用double（或float）表示的（連續）整數的確切範圍是什麼？我問的原因是因爲我很好奇questions such as this one將會發生精度損失。

也就是說

1. 什麼是最小正整數m這樣m+1不能準確地表示爲雙（相應浮動）？
2. 什麼是最大的負整數-n這樣-n-1不能精確地表示爲雙精度浮點數？ （可能與上面相同）。

這意味着-n和m之間的每個整數都具有精確的浮點表示形式。我基本上都在尋找範圍爲[-n, m]的浮標和雙打。

讓我們將範圍限制爲32位和64位浮點表示。我知道浮點數有24位精度，雙精度浮點數有53位（都帶有隱藏的前導位），但由於浮點表示的複雜性，我正在尋找一個權威答案。請不要揮手！

（理想的答案將證明，所有的整數從0到m的表達，而m+1不是。）

Answer 1

既然你問IEEE浮點類型，語言並不重要。

#include <iostream> 
using namespace std; 

int main(){ 

    float f0 = 16777215.; // 2^24 - 1 
    float f1 = 16777216.; // 2^24 
    float f2 = 16777217.; // 2^24 + 1 

    cout << (f0 == f1) << endl; 
    cout << (f1 == f2) << endl; 

    double d0 = 9007199254740991.; // 2^53 - 1 
    double d1 = 9007199254740992.; // 2^53 
    double d2 = 9007199254740993.; // 2^53 + 1 

    cout << (d0 == d1) << endl; 
    cout << (d1 == d2) << endl; 
} 

輸出：

0 
1 
0 
1 

所以對於浮動的限制爲2^24。而雙倍的限制是2^53。因爲唯一的區別是符號位，所以負號是相同的。