在n維圓環表面生成隨機點

Question

我想生成位於n維圓環表面的隨機點。我已經發現瞭如何生成3-dimensional torus的表面上的點式：

x = (c + a * cos(v)) * cos(u) 
y = (c + a * cos(v)) * sin(u) 
z = a * sin(v) 

U，V∈[0，2 * PI）; c，a> 0.

我現在的問題是：如何將這個公式擴展到n維。任何關於此事的幫助將不勝感激。

Answer 1

我想你可以遞歸地做到這一點。從矢量空間的完整正交基礎開始，讓當前位置爲原點。在每個步驟中，選擇由前兩個座標向量跨越的平面中的點，即取w1 = cos（t）* v1 + sin（t）* v2。移動其他基矢，即w2 = v3，w3 = v4，...。在w1方向上從當前位置向前走一步，選擇前面的半徑r1。如果只剩下單個基矢量，則當前點是最外遞歸調用的n維環上的一個點。

請注意，雖然以上可能用於隨機選擇點，它不會統一選擇它們。這可能是一個更難的問題，並且你肯定應該詢問關於Math SE或者Cross Validated (Statistics SE)的數學，以便在你擔心實現之前獲得數學。

Answer 2

一個n環（n是環的表面的維數;百吉餅或環面是一個2環，而不是3環）是一個n長方形的光滑映射。解決此問題的一種方法是在矩形上生成點，然後將它們映射到圓環上。除了解決如何將一個矩形映射到一個圓環上（我不知道它是手邊的）的問題之外，還有一個問題是圓環上的點的分佈結果不均勻，即使點的分佈是統一在矩形上。但是必須有一種方法來調整矩形上的分佈，使其在圓環上均勻分佈。