浮點加法和乘法聯合？

Question

我有一個問題，當我增加3浮點值，並將它們與1

cout << ((0.7 + 0.2 + 0.1)==1)<<endl;  //output is 0 
cout << ((0.7 + 0.1 + 0.2)==1)<<endl;  //output is 1 

爲什麼這些值出來有什麼不同？

Answer 1

浮點加法不一定聯想。如果你改變你添加的順序，這可以改變結果。

關於這個問題的標準文件是What Every Computer Scientist Should Know about Floating Point Arithmetic。它給出以下示例：

另一個灰色區域涉及圓括號的解釋。由於舍入誤差，代數的聯合定律不一定適用於浮點數。例如，當x = 1e30，y = -1e30和z = 1時，表達式（x + y）+ z與x +（y + z）具有完全不同的答案（前者爲1，後者爲0 ）。

Answer 2

什麼是可能的，與目前流行的機器和軟件，是：

編譯器編碼的0.7作爲0x1.6666666666666p-1（這是十六進制數字1.6666666666666乘以2的次方-1 ），.2爲0x1.999999999999ap-3，.1爲0x1.999999999999ap-4。這些中的每一個都是可以用浮點數表示的數字，與您寫的十進制數字最接近。

觀察到這些十六進制浮點常量中的每一個在它的有效位數（「分數」部分，通常不準確地稱爲尾數）中正好有53位。對於64位二進制浮點數字，有效位的十六進制數字有一個「1」和十三個多位十六進制數字（每個四位，52位總數，53位，包括「1」），這是IEEE-754標準規定的。點數。

讓我們添加.7和.2的數字：0x1.6666666666666p-1和0x1.999999999999ap-3。首先，縮放第二個數字的指數以匹配第一個數字。爲此，我們將指數乘以4（將「p-3」改爲「p-1」），並將有效數乘以1/4，得到0x0.66666666666668p-1。然後添加0x1.6666666666666p-1和0x0.66666666666668p-1，給出0x1.ccccccccccccc8p-1。請注意，該數字在有效數字中的位數超過了53位：「8」是該時間段之後的第14位數字。浮點數不能用這麼多位返回結果，所以它必須四捨五入到最接近的可表示數字。在這種情況下，有兩個數字相近，即0x1.cccccccccccccp-1和0x1.ccccccccccccdp-1。如果存在平局，則使用有效數的最低位爲零的數字。 「c」是偶數，「d」是奇數，因此使用「c」。最後的結果是0x1.cccccccccccccp-1。

接下來，將.1（0x1.999999999999ap-4）的編號添加到該編號。再次，我們縮放以使指數匹配，因此0x1.999999999999ap-4變爲0x.33333333333334p-1。然後將其添加到0x1.cccccccccccccp-1，並給出0x1.fffffffffffff4p-1。將其舍入到53位給出0x1.fffffffffffffp-1，這是「.7 + .2 + .1」的最終結果。

現在考慮「.7 + .1 + .2」。對於「.7 + .1」，添加0x1.6666666666666p-1和0x1.999999999999ap-4。回想一下後者的縮放比例爲0x3333333333334p-1。那麼確切的和是0x1.99999999999994p-1。將其舍入到53位給出0x1.9999999999999p-1。

然後添加.2（0x1.999999999999ap-3）的數字，該數字縮放爲0x0.66666666666668p-1。確切的和是0x2.00000000000008p-1。浮點型有效數字總是從1開始縮放（除了特殊情況：在可表示範圍底部的零，無窮大和非常小的數字），所以我們將其調整爲0x1.00000000000004p0。最後，我們循環到53位，給出0x1.0000000000000p0。因此，由於舍入時發生錯誤，「.7 + .2 + .1」返回0x1.fffffffffffffp-1（略小於1），並且「.7 + .1 + .2」返回0x1.0000000000000p0（恰好爲1）。

Answer 3

浮點乘法在C或C++中不是關聯的。

證明：

#include<stdio.h> 
#include<time.h> 
#include<stdlib.h> 
using namespace std; 
int main() { 
    int counter = 0; 
    srand(time(NULL)); 
    while(counter++ < 10){ 
     float a = rand()/100000; 
     float b = rand()/100000; 
     float c = rand()/100000; 

     if (a*(b*c) != (a*b)*c){ 
      printf("Not equal\n"); 
     } 
    } 
    printf("DONE"); 
    return 0; 
} 

在這個程序中，時間約30％，(a*b)*c不等於a*(b*c)。