如果A.B = C，給定A，B，C是矩陣，那麼如何使用Matlab從B和C計算A？

Question

A，B和C是矩陣。

A*B = C

現在我想要做一個反向即計算使用B A和C.我該怎麼辦呢？ Matlab說B應該是一個平方矩陣來計算其逆。

Answer 1

如果一個獨特的解決方案存在，那麼一個可能最好使用PINV找到它。使用施瓦茨構成的例子...

A = [2 3 4]; 
B = [11 11 11; 12 12 12; 13 13 13]; 
C = A*B; 

Ahat = C*pinv(B) 
Ahat = 
     2.788  3.0415  3.2949 

問題是，B是單數。所以可能有無數的解決方案。

B = magic(3) 
B = 
    8  1  6 
    3  5  7 
    4  9  2 
A = [2 3 4]; 
C = A*B 
C = 
    41 53 41 

Ahat = C*pinv(B) 
Ahat = 
      2   3   4 

Ahat = C/B 
Ahat = 
    2  3  4 

請參閱PINV和斜線都產生相同的解決方案，因爲乙是非奇異，這是很好的空調。

但是如果我們嘗試一些不太適應的東西，那麼該怎麼辦？在下一個例子中，我將使用一個並不那麼糟糕的矩陣。

>> A = [2 3 4]; 
>> B = [1 1 1;1 2 3;2 3 4.00001] 
B = 
    1    1    1 
    1    2    3 
    2    3  4.00001 

好，它有一個相當大的條件數，但這個矩陣是不是我會打電話數值單數。

cond(B) 
ans = 
      2865128.4655819 

C = A*B 
C = 
         13      20     27.00004 

現在嘗試幾種不同的解決方案。

format long g 
Ahat1 = C*pinv(B) 
Ahat1 = 
    2  3  4 

pinv做得很好。

Ahat2 = C/B 
Ahat2 = 
      2.00000000017764   3.00000000017764   3.99999999982236 

Ahat3 = C*inv(B) 
Ahat3 = 
      1.99999999953434   2.99999999953434   4.00000000046566 

斜槓和inv都不壞，雖然在這種情況下顯然更糟糕。對於這個問題，pinv解決方案似乎更穩定一些。

我們也可以在此處拋出QR分解。使用樞軸解決方案以獲得最佳穩定性。請注意，當你的系統幾乎是單數時，我們仍然會遇到問題。

[Q,R,P] = qr(B); 

你可以看到通過檢查R.最後的對角線元素的問題相比，餘數是微小的。這將導致解決方案出現問題，放大噪音。

R 
R = 
     -5.09902735824196   -2.35339392337313   -3.72620671848107 
         0   0.679365175314723   0.339681455393392 
         0       0  -2.88675134520189e-06 

的QR因素有Q * R * P」 = B.所以，我們可以在這裏解決一個屬性爲：

Ahat4 = ((C*P)/R)*Q' 
Ahat4 = 
      2.00000000076851   3.0000000007685   3.9999999992315 

請注意，我已經安排了括號是因爲儘可能高效，因爲MATLAB將使用R的屬性作爲三角矩陣來簡單地執行反求。我們不希望MATLAB將因素考慮在內。

但是，現在讓我們來看看一個由瓦希德提出：

Ahat5 = C*B'*(inv(B*B')) 
Ahat5 = 
       1.9970703125    2.998046875    4.0029296875 

然而，瓦希德提出的解決方案很糟糕。不要使用這最後一種形式。請。人們告訴你不要這樣做，或者他們應該告訴你這一點是有原因的！是的，我知道有一羣人不知道涉及的數學，並且不斷傳播它。你甚至可以在一些不知情的教科書中找到它。

關於pinv的好處是它適用於任何矩陣，單數或不是。如果存在解決方案，它會找到一個解決方案。如果解決方案是獨一無二的，它將起作用。如果解決方案不是唯一的，那麼，你期望什麼？

Answer 2

可以使用反斜線操作：

% if A*C = B 
C = A\B 

我不認爲在非矩形A的情況下，解決方案是獨一無二的，雖然...

Answer 3

首先通過B'繁衍A*B=C雙方（轉置B的）：

A*B*B'=C*B' 

D=B*B'讓（d是方陣）：

A*D=C*B' 

現在，通過inv(D)乘以上述等式的兩邊：

A*D*inv(D)=C*B'*inv(D) 

D*inv(D)=I，所以：

A=C*B'*inv(D)