的Python：無法解決使用odeint與符號函數微分方程

Question

我試圖解決這個問題：

其中U是

這裏：

s=c*e(t)+e_dot(t) 

and

e(t)=theta(t)-thetad(t) 

和

e_dot(t)=theta_dot(t)-thetad_dot(t) 

其中thetad（希塔需要的話）= SIN（T） - 待跟蹤即信號！我試着第一次使用odeint，它在t = 0.4後給出的誤差是θ（上面的微分方程的解）平穩地下降到了0， 0並留下。然而，當我試圖將mxstep提高到5000000時，我可以得到一些正確的圖，直到t = 4.3s。

我想得到一個純正弦曲線圖。那就是我希望theta（上述微分方程的解）跟蹤時間即sin（t）。但在t = 4.3秒後無法準確地追蹤該點。在這段時間之後，θ（上述微分方程的解）簡單地下降到0並停留在那裏。

這裏是我的代碼 -

from scipy.integrate import odeint 
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 

c=0.5 
eta=0.5 
def f(Y,t): 
    x=Y[0] 
    y=Y[1] 
    e=x-np.sin(t) 
    de=y-np.cos(t) 
    s=c*e+de 
    return [y,-c*(de)-np.sin(t)-eta*np.sign(s)] 

t=np.linspace(0,10,1000) 
y0=[0.5,1.0] 
sol=odeint(f,y0,t,mxstep=5000000) 
#sol=odeint(f,y0,t) 
print(sol) 
angle=sol[:,0] 
omega=sol[:,1] 
error=angle-np.sin(t) 
derror=omega-np.cos(t) 
plt.subplot(4,2,1) 
plt.plot(t,angle) 
plt.plot(t,error,'r--') 
plt.grid() 
plt.subplot(4,2,2) 
plt.plot(t,omega) 
plt.plot(t,derror,'g--') 
plt.grid() 
plt.subplot(4,2,3) 
plt.plot(angle,omega) 
plt.grid() 
plt.subplot(4,2,4) 
plt.plot(error,derror,'b--') 
plt.savefig('signum_graph.eps') 
plt.show() 

Answer 1

由odeint（你發現實現，可能是所有集成商）採用積分是基於這樣的假設，你的衍生物（f）是連續的（並具有連續衍生物）在每個步驟中。 signum函數顯然打破了這個要求。這會導致誤差估計值非常高，無論步長有多小，反過來導致步長過小以及遇到的問題。

達到這一目的有兩種常用的解決方案：

1. 選擇你的步長，使得標誌翻轉正好落在了一步。 （這可能會非常乏味）

2. 用非常陡峭的sigmoid代替signum函數，這對大多數應用程序來說應該是很好的，甚至更現實。在代碼中，你可以使用

   sign = lambda x: np.tanh(100*x) 
   

   ，而不是np.sign。這裏的因子100控制了S形的陡度。選擇它足夠高，以反映你實際需要的行爲。如果選擇過高，這可能會對運行時間產生負面影響，因爲積分器會將步長調整到不必要的小。

在你的情況，設定絕對值小的公差也似乎是工作，但我不會依靠這樣的：

sol = odeint(f,y0,t,mxstep=50000,atol=1e-5)