在R中使用線性迴歸計算不正確的R平方

Question

我在R中做了一個非常簡單的線性迴歸，但計算的R^2似乎並不正確。我也做了迴歸分析如下：

data(cats) 
fit = lm(Hwts ~ Bwts+0, data = cats) 
summary(fit) 

我從這個迴歸得到的結果是：在

Call: 
lm(formula = cats$Hwt ~ cats$Bwt + 0) 

Residuals: 
    Min  1Q Median  3Q  Max 
-3.4563 -0.9980 -0.1003 1.0044 5.2623 

Coefficients: 
     Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
cats$Bwt 3.90711 0.04364 89.53 <2e-16 *** 
--- 
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 1.449 on 143 degrees of freedom 
Multiple R-squared: 0.9825, Adjusted R-squared: 0.9823 
F-statistic: 8015 on 1 and 143 DF, p-value: < 2.2e-16 

計算的R-sqaured更是高達0.9825，但一個簡單的情節數據會給你一個R平方不能那麼高的直覺。如果我計算使用維基百科給出的公式R平方，我得到了以下結果：

1-sum(residuals(fit1)^2)/sum((cats$Hwt - mean(cats$Hwt))^2) 
[1] 0.6459604 

此R平方的0.6459定義看起來更合理，而且我發現，如果我能夠在迴歸截距我會

fit = lm(Hwt ~ Bwt, data = cats) 
summary(fit) 

Call: 
lm(formula = Hwt ~ Bwt, data = cats) 

Residuals: 
    Min  1Q Median  3Q  Max 
-3.5694 -0.9634 -0.0921 1.0426 5.1238 

Coefficients: 
      Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
(Intercept) -0.3567  0.6923 -0.515 0.607  
Bwt   4.0341  0.2503 16.119 <2e-16 *** 
--- 
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 1.452 on 142 degrees of freedom 
Multiple R-squared: 0.6466, Adjusted R-squared: 0.6441 
F-statistic: 259.8 on 1 and 142 DF, p-value: < 2.2e-16 

怎麼來的R平方變得如此不同，當我允許或不允許攔截：解決此號碼獲得一個R平方？請給出意見。

Answer 1

原因是當您擬合沒有截距項的模型時，R^2計算對所有觀測值使用基線預測值0。其結果是，相關的R^2的計算是：

library(boot) 
fit <- lm(Hwt ~ Bwt+0, data = cats) 
summary(fit)$r.squared 
# [1] 0.9824721 
1-sum(residuals(fit)^2)/sum(cats$Hwt^2) 
# [1] 0.9824721 

基本上由lm返回的R^2相比不具有訪問任何變量（BWT在這種情況下）的基線模型。如果擬合的模型沒有截距，那麼基線模型必須對所有觀測值預測爲0，因爲它無法將截距術語擬合到訓練集的平均結果值。