如何以編程方式計算不確定積分

Question

我記得解決了很多不確定的積分問題。有一些解決它們的標準方法，但仍然有一些問題需要綜合的方法才能達成解決方案。 但是，我們如何以編程方式實現解決方案。

例如看看Mathematica的在線集成應用程序。那麼我們如何編寫這樣一個接受函數作爲參數的程序，並返回該函數的不確定積分。

PS。輸入函數可以假定爲連續的（即，不是例如sin（x）/ x）。

Answer 1

你有Risch's algorithm這是微妙的不可判定的（因爲你必須決定兩個表達式是否相等，類似於無處不在的暫停問題），並且實現時間很長。

如果你遇到了複雜的問題，求解一個常微分方程實際上並不困難（並且計算一個不定積分就相當於求解y'= f（x））。存在一個伽羅瓦微分理論，其模擬伽羅瓦理論的多項式方程（但是具有李羣對稱性而不是有限羣的置換羣）。裏施的算法是基於它的。

Answer 2

這些expert systems通常有一個巨大的技術收集，只是一個接一個地嘗試。

我不確定WolframMath，但在Maple中有一個命令可以顯示所有中間步驟。如果你這樣做，你會得到所有經過驗證的技術。

編輯：

將輸入不應該是真正棘手的部分 - 你需要編寫一個parser和lexer，即變換文本輸入爲內部表示。

Answer 3

祝你好運。 Mathematica是非常複雜的軟件，符號操作是最好的。如果您感興趣的話題來看看這些書：

http://www.amazon.com/Computer-Algebra-Symbolic-Computation-Elementary/dp/1568811586/ref=sr_1_3?ie=UTF8&s=books&qid=1279039619&sr=8-3-spell

此外，去源不會傷害任何。這本書實際上解釋了數學

http://www.amazon.com/Mathematica-Book-Fourth-Stephen-Wolfram/dp/0521643147/ref=sr_1_7?ie=UTF8&s=books&qid=1279039687&sr=1-7

Answer 4

的內部工作你正在尋找的算法是RISCH」算法：

http://en.wikipedia.org/wiki/Risch_algorithm

我相信這是一個有點棘手使用。這本書：

http://www.amazon.com/Algorithms-Computer-Algebra-Keith-Geddes/dp/0792392590

有其描述。一個100頁的描述。

Answer 5

您保存了一組基本形式，您知道（多項式，基本三角函數等）的積分，並將它們用於輸入的形式。如果你不需要太多的通用性，這是可行的：例如，編寫集成多項式的程序非常簡單。

如果你想在最普遍的情況下做到這一點，你將不得不做很多計算機代數系統的工作。對某些人來說這是一生的工作，例如如果你看Risch's "algorithm"張貼在其他答案或symbolic integration，你可以看到有關於該主題的完整多卷書籍（「Manuel Bronstein，Symbolic Integration Volume I：Springer」），並且很少現有的計算機代數系統最大限度地實現它。

如果您確實想自己編寫代碼，可以查看Sage的源代碼或its components中列出的幾個項目。當然，使用這些程序更容易，或者，如果您要編寫更大的程序，請將其中一個用作庫。