使用（d + 1）點（或更少）創建d維的球體

Question

假設我在D維空間中有N個點;其中N可以是從4到D + 1的數字。

我想要創建由這N個點定義的最小可能球體，或換句話說，就是包含所有N個點的最小球體（它完全穿過所有這些球體）。

解決方案的變量是中心和半徑。

我與矩陣不好，我想這個問題需要他們？

Answer 1

我相信你正在尋找一個（最小）circumsphere爲您的積分x。正如你所建議的，這樣一個對象可以通過一些線性代數來計算。

給定一組的m點x在n尺寸(m <= n+1)，使得：

x = [x_11, x_12, ..., x_1n] 
    [x_21, x_22, ..., x_2n] 
    . 
    . 
    . 
    [x_m1, x_m2, ..., x_mn] 

這是可能的寫下方程半徑R的公共領域，在X = [X_1,X_2,...,X_n]中心，通過各通分在x：

(x_11 - X_1)^2 + (x_12 - X_2)^2 + ... + (x_1n - X_n)^2 = R^2  (1) 
(x_21 - X_1)^2 + (x_22 - X_2)^2 + ... + (x_2n - X_n)^2 = R^2  (2) 
. 
. 
. 
(x_m1 - X_1)^2 + (x_m2 - X_2)^2 + ... + (x_mn - X_n)^2 = R^2  (m) 

擴大每個方程中的二次項，減去(1)從方程(2)--(m)，並做一個小的操作，導致了一組線性方程的用於中心X：

M * X = B 

其中：

M = [x_11-x_21, x_12-x_22, ..., x_1n-x_2n] 
    . 
    . 
    . 
    [x_11-x_m1, x_12-x_m2, ..., x_1n-x_mn] 

B = [x_11^2-x_21^2 + x_12^2-x_22^2 + ... + x_1n^2-x_2n^2] * (1/2) 
    . 
    . 
    . 
    [x_11^2-x_m1^2 + x_12^2-x_m2^2 + ... + x_1n^2-x_mn^2] * (1/2) 

注意M爲(m-1) x n矩陣，而B是一個(m-1) x 1載體。

顯然，當m = n+1時，矩陣是正方形的，並且中心X有一個唯一的解決方案，完全描述了與點x相關的環。 （半徑可以從X到任何x_i的距離獲得）。

當m < n+1解決方案是非唯一的，並有一個無限的環球家庭。在這種情況下，需要將附加約束添加到矩陣M以提供解決方案。

在你的情況，我認爲你可能會希望限制X趴在由點x描述的公共超平面，但我會擁有更多的有點想想這...的