射擊彈丸（直線軌跡）在3維移動目標

Question

我已經爲該問題搜索，但只發現二維解決方案或公式，但沒有爲我工作（發現這個公式，看起來不錯：http://www.ogre3d.org/forums/viewtopic.php?f=10&t=55796，但似乎不是正確）。

我已經給：

Vec3 cannonPos; 
Vec3 targetPos; 
Vec3 targetVelocityVec; 
float bulletSpeed; 

我正在尋找的是時間t這樣

targetPos+t*targetVelocityVec 

是intersectionpoint哪裏瞄準大炮和拍攝。

我正在尋找在t簡單，廉價的化學式（通過簡單的我只是說賺不到很多不必要的vectorspace轉換等）

的感謝！

Answer 1

真正的問題是找出子彈可以與目標路徑相交的空間。子彈的速度是恆定的，所以在一定的時間內，無論我們開火的方向如何，它都會移動相同的距離。這意味着它在時間t之後的位置將永遠位於球體上。下面是一個醜陋圖解2D：

該球可以在數學上表示爲：

(x-x_b0)^2 + (y-y_b0)^2 + (z-z_b0)^2 = (bulletSpeed * t)^2  (eq 1) 

x_b0，y_b0和z_b0表示大炮的位置。

targetPos+t*targetVelocityVec         (eq 2) 

(eq 2)是一個矢量方程，可以分解成三個獨立的方程：

x = x_t0 + t * v_x 
y = y_t0 + t * v_y 
z = z_t0 + t * v_z 

這三個可以使用在你的問題中提供的方程求解這個方程找不到時間t方程可以被插入到(eq 1)：

(x_t0 + t * v_x - x_b0)^2 + (y_t0 + t * v_y - y_b0)^2 + (z_t0 + t * v_z - z_b0)^2 = (bulletSpeed * t)^2 

該方程僅包含已知的變量和可以解決對於t。由二次子表達式的常數部分分配給常數，我們可以簡化計算：

c_1 = x_t0 - x_b0 
c_2 = y_t0 - y_b0 
c_3 = z_t0 - z_b0 
(v_b = bulletSpeed) 

(t * v_x + c_1)^2 + (t * v_y + c_2)^2 + (t * v_z + c_3)^2 = (v_b * t)^2 

重新排列其作爲一個標準的二次方程：

(v_x^2+v_y^2+v_z^2-v_b^2)t^2 + 2*(v_x*c_1+v_y*c_2+v_z*c_3)t + (c_1^2+c_2^2+c_3^2) = 0 

這是容易解決使用標準公式。它可以導致零個，一個或兩個解決方案。零解決方案（不包括複雜的解決方案）意味着子彈無法達到目標。當目標軌跡與球體的邊緣相交時，一種解決方案可能很少發生。兩種解決方案將是最常見的情況。否定的解決方案意味着你不能擊中目標，因爲你需要將子彈射入過去。這些都是你必須檢查的條件。

當你解決了方程式，你可以找到t的位置，把它放回(eq 2)。在僞代碼：

# setup all needed variables 
c_1 = x_t0 - x_b0 
c_2 = y_t0 - y_b0 
c_3 = z_t0 - z_b0 
v_b = bulletSpeed 
# ... and so on 

a = v_x^2+v_y^2+v_z^2-v_b^2 
b = 2*(v_x*c_1+v_y*c_2+v_z*c_3) 
c = c_1^2+c_2^2+c_3^2 

if b^2 < 4*a*c: 
    # no real solutions 
    raise error 

p = -b/(2*a) 
q = sqrt(b^2 - 4*a*c)/(2*a) 

t1 = p-q 
t2 = p+q 

if t1 < 0 and t2 < 0: 
    # no positive solutions, all possible trajectories are in the past 
    raise error 

# we want to hit it at the earliest possible time 
if t1 > t2: t = t2 
else: t = t1 

# calculate point of collision 
x = x_t0 + t * v_x 
y = y_t0 + t * v_y 
z = z_t0 + t * v_z