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Question

我想了解numpy.einsum（）函數，但文檔以及從stackoverflow this answer仍留下一些問題。

我們來看看愛因斯坦和和答案中定義的矩陣。

A = np.array([0, 1, 2]) 

B = np.array([[ 0, 1, 2, 3], 
        [ 4, 5, 6, 7], 
        [ 8, 9, 10, 11]]) 

np.einsum('i,ij->i', A, B) 

因此，基於我的愛因斯坦總和的理解，我會翻譯這個功能等同於符號（A_I * B_ij），所以我將獲得：

J = 1：A_1 * B_11 + A_2 * B_21 + A_3 * B_31

J = 2：A_1 * B_12 + A_2 * B_22 + A_3 * B_32

，以此類推，直到J = 4。這給出

J = 1：0 + 4 + 16

j = 2：0 + 5 + 18

根據我的理解，這將是愛因斯坦求和。相反，功能不執行總金額，但在矩陣中，我們可以發現在（A_I * B_ij）的結果

0 0 0 0 
4 5 6 7 
16 18 20 22 

這是如何實際上是由函數控制存儲單獨項？我覺得這是由文檔中提到的輸出標籤控制的：

輸出可以通過將輸出下標標籤指定爲 來控制。這指定標籤順序，並允許求和是 所需

時禁止或強制所以不知何故，我認爲把->i禁用內款項相加。但是，這究竟是如何工作的？這對我來說並不明確。將->j作爲預期提供實際的愛因斯坦總和。

Answer 1

看來你對愛因斯坦求和的理解是不正確的。您已經寫出的下標操作具有正確的乘法，但總和超出了錯誤的軸。

想想這是什麼意思：np.einsum('i,ij->i', A, B)。

1. A具有形狀(i,)和B具有形狀(i, j)。
2. 將B的每一列乘以A。
3. 在B的第二軸上的和，即在標記爲j的軸上。

這給出了形狀(i,) == (3,)的輸出，而您的下標符號給出形狀(j,) == (4,)的輸出。你正在總結錯誤的軸。

更多細節：

記住乘法總是首先發生。左手下標告訴np.einsum函數輸入數組中的哪些行/列/等將相互相乘。該步驟的輸出總是具有與最高維輸入數組相同的形狀。即，在這一點上，假設的「中間」陣列具有形狀(3, 4) == B.shape。

乘法後有總和。這由右側的省略控制。在這種情況下，j被省略，這意味着沿數組的第一個軸求和。 （你正在第零次總結。）

如果你改爲寫：np.einsum('i,ij->ij', A, B)，將會有沒有求和，因爲沒有下標被省略。因此，您可以在問題結束時獲得您擁有的陣列。

這裏有幾個例子：

例1：

沒有省略下標，所以沒有總和。只需將B的列乘以A即可。這是你寫出的最後一個數組。

>>> (np.einsum('i,ij->ij', A, B) == (A[:, None] * B)).all() 
True 

出2：

同的例子。乘以列，然後求和輸出的列。

>>> (np.einsum('i,ij->i', A, B) == (A[:, None] * B).sum(axis=-1)).all() 
True 

出3：

爲你寫它上面的總和。乘以列，然後求和輸出的行。

>>> (np.einsum('i,ij->j', A, B) == (A[:, None] * B).sum(axis=0)).all() 
True 

出4：

需要注意的是，我們可以在最後省略所有軸，只得到在整個陣列的總和。

>>> np.einsum('i,ij->', A, B) 
98 

例5：

注意總和真的發生，因爲我們重複輸入標籤'i'。如果我們改用不同的標籤輸入數組的每個軸，我們可以計算的東西類似克羅內克產品：

>>> np.einsum('i,jk', A, B).shape 
(3, 3, 4) 

編輯

的NumPy的實施愛因斯坦總和從傳統有些不同定義。從技術上講，愛因斯坦總和沒有「輸出標籤」的概念。這些總是暗示重複的輸入標籤。

來自文檔："Whenever a label is repeated, it is summed."因此，傳統上，我們會寫如np.einsum('i,ij', A, B)之類的東西。這相當於np.einsum('i,ij->j', A, B)。重複i，因此它被求和，只留下標記爲j的軸。您可以考慮將輸出標籤指定爲否的總和與僅指定輸入中不重複的標籤相同。也就是說，標籤'i,ij'與'i,ij->j'相同。

輸出標籤是在NumPy中實現的擴展或擴充，它允許調用方強制求和或強制在軸上求和。從文檔："The output can be controlled by specifying output subscript labels as well. This specifies the label order, and allows summing to be disallowed or forced when desired."