試圖僅使用圖像推導2D變換矩陣

Question

我不知道這是否應該在數學論壇或編程論壇上發佈，但我會在兩篇文章中發佈它，並查看我的位置。

我有兩個計算機圖像......其中一個是「原始」圖像（一個大的TIF文件）。另一個是原始圖像的轉換版本......它被旋轉，剪切並翻譯成軟件程序。我需要對變換後的圖像做一些工作，但我需要原始圖像中每個像素的（x-y）座標來完成我的計算。

我知道圖像是旋轉和剪切的3x3變換矩陣。如果我有矩陣，我可以從第一個（或反之亦然）自己推導出第二個圖像。我不知道旋轉，剪切或翻譯的確切程度，所以我不能從一組已知的變換中推導出矩陣。我所做的是每個圖像中的一組對應點（角點等）以及它們對應的（x，y）座標。所以這是我的困境：

使用一組相應的變換點（（x，y） - >（x'，y'），它們中的三個或更多）可以導出用於轉動的變換矩陣一個圖像到另一個？如果我可以導出矩陣，我可以求出所有像素的原始座標（全部1,800萬像素），並完成我需要做的計算。

任何人都可以幫忙嗎？我對線性代數很熟悉......只是不夠熟悉，沒有一個完整的頭部劃痕就可以推導出來。任何感謝！

• 邁克

Answer 1

不確定是否需要說明書或自動 ...

手冊

如果您指定的長方形的四個角的變換後的座標，那麼你就可以推導出變換方程：

alt text http://www.praeclarum.org/so/wellner.png

（皮埃爾Wellner的Interacting with Paper on the DigitalDesk和更多細節在他的Thesis）

現在你只需要求解方程的係數灰。

有四個點對，兩組四個同時線性方程可以快速通過高斯消元法求解，找到C 1-8的值。

最後，您可以將這些方程轉換爲您需要的3x3矩陣。上面的公式足夠強大，可以進行非線性變換，並且可以將其簡化爲3x3仿射剪切矩陣。

但我會堅持使用nonliner方程（上面），因爲他們可以處理透視失真。

自動

相同的方法，但可以使用邊緣檢測器與一個行檢測算法comboined找到一組4個肥胖型線妝容的矩形。

如果你的圖像矩形真正站出來（在一個黑暗的背景whiteish圖像），那麼你可以使用角點檢測可以從像OpenCV's Feature Detection庫（見cvCornerHarris）。

您可以將這些線相交以找到四個角並使用轉換方程。

Answer 2

我想你應該提供的清單開始，說 點（6個未知數）與X/Y改造前後的座標。

然後有人比我更聰明的將它彈入一組線性方程組，然後將它饋送給（比方說）Wolfram Alpha進行求解。

Java的文檔爲AffineTransform頂部顯示矩陣需要如何設置：

[ x'] [ m00 m01 m02 ] [ x ] [ m00x + m01y + m02 ] 
[ y'] = [ m10 m11 m12 ] [ y ] = [ m10x + m11y + m12 ] 
[ 1 ] [ 0 0 1 ] [ 1 ] [   1   ] 

除去大部分絨毛葉：

[ x'] [ m00x + m01y + m02 ] 
[ y'] = [ m10x + m11y + m12 ] 

然後你只需設置一組6 x 2像這樣的公式：

m00x + m01y + m02 - x' = 0 
m10x + m11y + m12 - y' = 0 

（重複2個其他x/y before/afte r對）

並將它們扔在方程求解器中。

Answer 3

您只需要3個點來定義3x3變換矩陣。如果你有點（0,0），（0,1）和（1,0）並通過矩陣[abcdef 0 0 1]進行變換，你將得到（c，f），（b，e）和（a，d）。