對最接近的浮點算術舍入

對於舍入到最近的浮點算術，我有點困惑。令a，b和c爲標準化的雙精度浮點數。 a + b = b + a其中+正確舍入到最接近的浮點加法是真的嗎？我最初的猜測是肯定的，這總是如此，但我並不完全理解到最近的四捨五入。有人可以給出一個例子，當a + b！= b + a使用浮點加法並舍入到最近？對最接近的浮點算術舍入

來源

2013-02-19 SKLAK

無論舍入模式如何，正確實施IEEE-754浮點加法都是可交換的（a + b等於b + a）。

舍入模式會影響精確的數學結果是如何舍入以適合目標格式的。由於a + b和b + a的確切數學結果是相同的，所以它們是相同的。

來源

2013-02-19 17:30:37

我明白了。它是否也是聯想？例如，（a + b）+ c = a +（b + c）？ – SKLAK 2013-02-19 17:53:16

@SKLAK：不容易反例：'a = 1e16，b = -1e16，c = 1'。 – 2013-02-19 18:08:02

算術不關聯，因爲在發生舍入錯誤時更改操作的順序會發生變化。例如，計算的「（a + b）+ c」和「a +（b + c）」在數學上是f（f（a + b）+ c）'和'f（a + f（b + c）） '，其中'f'是將精確的數學值舍入爲浮點數值的函數。 f（a + b）'與f（b + c）'具有相同的舍入誤差通常沒有理由，所以這些可能會產生不同的結果。 – 2013-02-19 18:51:47

如上所述，加法是可交換的，但不是聯想的。在舍入模式的差異可以通過運行下面的（MS的Visual Studio）C++代碼可以看出：

#include <iostream> 
#include <float.h> 

#pragma fenv_access(on) 

using namespace std; 

int main(int argc, char* argv[]) 
{ 
    float a = 1.75f, b = 1e-6f; 

    cout.setf(ios::fixed,ios::floatfield); 
    cout.precision(7); 

    cout << "a = " << a << ", b = " << b << endl; 

    _controlfp_s(NULL, _RC_DOWN,_MCW_RC); 

    cout << "Result of a + b rounded down: " << a+b << endl; 
    cout << "Result of a - b rounded down: " << a-b << endl; 

    _controlfp_s(NULL, _RC_UP,_MCW_RC); 
    cout << "Result of a + b rounded up: " << a+b << endl; 
    cout << "Result of a - b rounded up: " << a-b << endl; 

    _controlfp_s(NULL, _RC_NEAR,_MCW_RC); 
    cout << "Result of a + b rounded to nearest: " << a+b << endl; 
    cout << "Result of a - b rounded to nearest: " << a-b << endl; 

    return 0; 
}

輸出：

a = 1.7500000, b = 0.0000010 
Result of a + b rounded down: 1.7500010 
Result of a - b rounded down: 1.7499989 
Result of a + b rounded up: 1.7500011 
Result of a - b rounded up: 1.7499990 
Result of a + b rounded to nearest: 1.7500010 
Result of a - b rounded to nearest: 1.7499990

來源

2013-02-19 20:11:17 jerry

對最接近的浮點算術舍入

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