使用地板（a/b）安全嗎？

Question

在許多編程語言中，都有一個名爲floor的函數，它採用一個浮點參數（double或single），並返回不大於參數的最大整數。現在我有一個問題：通過調用floor（a/b）來獲取不大於a/b的最大整數是否安全？我認爲浮點計算可能是不精確的。所以，例如，a/b的確切值可能是2.999999998，但它可能被計算爲3.00000000，然後floor（a/b）得到3，這是不正確的。

Answer 1

是的，如果使用IEEE754 binary64格式（即在大多數系統上是典型的C double）。一個示例是當a = 0.9（其中，因爲0.9不能由格式來表示，實際上是0.90000000000000002220446049250313080847263336181640625）和b = 0.1（實際上0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625）然後a/b真值實際上是

8.999999999999999722444243843710880301531638075180891038116311176859261171872 ...

然而，這將獲得四舍五入爲9.0，因爲它比以前的浮點數

8.9999999999999982236431605997495353221893310546875

接近

所以floor(a/b)也將是9.0。

Answer 2

它是安全的，如果a和b爲整數（小於功率（2，尾數+ 2）的尺寸），或者如果a和b是「精確」來表示。

START_UPDATE

的問題可以重新進入：是有可能有a/b = n與a < n*b？

的說法是相當複雜的，但答案是否定的這個問題：

如果a < n*b然後a <= n*b - eps(n*b)/2。

最壞的情況是，當eps(n*b)/2比2的冪接近，但少，但即使在這種最壞的情況下，你有

a < n*b - n*b*eps(1.0)/4 

所以

a/b exactly evaluated < n - n*eps(1.0)/4 
    a/b exactly evaluated < n - eps(n)/4 

和輪最接近的偶數模式確保：

a/b in floating-point < n 

END_UPDATE

現在假設的a/b準確值是一個整數n用下來，近似a和上近似b。然後a/b可能會在最後一個位置超過1/2單位，因此小於n。因此，a/b = n的確切值，而floor(a/b) = n-1。

以下C++代碼返回floor((i/1000)/0.001)與i不同的例外。第一個是0.043/0.001。

#include <iostream> 
#include <cmath> 

int main() { 
    double x, y; 
    for (int i = 0; i < 1000; ++ i) { 
    x = i/1000.0; 
    y = 0.001; 
    if (floor(x/y) != (double) i) 
     std::cout << i << ' ' << floor(x/y) << '\n'; 
    } 
    std::cout.flush(); 
}