（numpy）FFT數組的錯誤幅度（？）？

Question

我使用numpy和matplotlib來分析我模擬的數據輸出。有一個（明顯的）不一致，我找不到根源。它有以下幾種：

我有一個信號，具有給定的能量a^2〜1。當我使用rfft進行傅里葉變換並計算傅里葉空間中的能量時，它會變得更大。排尿給我的數據等的細節，這裏是一個簡單的正弦波的例子：

from pylab import * 
xx=np.linspace(0.,2*pi,128) 
a=np.zeros(128) 
for i in range(0,128): 
    a[i]=sin(xx[i]) 
aft=rfft(a) 
print mean(abs(aft)**2),mean(a**2) 

原則上這兩個數字應該是相同的（至少在數字意義上的），但是這是我擺脫這種代碼：

62.523081632 0.49609375 

我試圖去通過numpy.fft文檔，但無法找到任何東西。這裏的一個搜索提供了以下但我無法理解的解釋有：

Big FFT amplitude difference between the existing (synthesized) signal and the filtered signal

我缺少/誤解？任何幫助/指針在這方面將不勝感激。

謝謝！

Answer 1

亨利是非正常化的一部分，但有一點點它，因爲你使用的是rfft而不是fft。以下是他的回答是一致的：

>>> x = np.linspace(0, 2 * np.pi, 128) 
>>> y = 1 - np.sin(x) 
>>> fft = np.fft.fft(y) 
>>> np.mean((fft * fft.conj()).real) 
191.49999999999991 
>>> np.mean(y**2) 
1.4960937500000004 
>>> fft = fft/np.sqrt(len(fft)) 
>>> np.mean((fft * fft.conj()).real) 
1.4960937499999991 

但如果你現在rfft嘗試同樣的事情也不太工作了：

>>> rfft = np.fft.rfft(y) 
>>> np.mean((rfft * rfft.conj()).real) 
314.58462009358772 
>>> rfft /= np.sqrt(len(rfft)) 
>>> np.mean((rfft * rfft.conj()).real) 
4.8397633860551954 
65 
>>> np.mean((rfft * rfft.conj()).real)/len(rfft) 
4.8397633860551954 

下不正常，但：

>>> (rfft[0] * rfft[0].conj() + 
... 2 * np.sum(rfft[1:] * rfft[1:].conj())).real/len(y) 
1.4960937873636722 

當你使用rfft你得到的是不正確的DFT你的數據，但只有它的正半數，因爲負將是對稱的tric到它。爲了計算平均值，您需要考慮除DC分量兩次以外的每個值，這是最後一行代碼的作用。

Answer 2

在大多數FFT庫中，各種DFT風味不是orthogonal。 numpy.fft庫僅在逆變換過程中應用必要的歸一化。

考慮Wikipedia description of the DFT;逆DFT具有DFT不具有的1/N項（其中N是變換的長度）。要製作DFT的正交版本，您需要將非歸一化DFT的結果縮放1/sqrt（N）。在這種情況下，變換是正交的（即，如果我們將正交DFT定義爲F，則逆DFT是F的共軛或厄密轉置）。

在你的情況，你可以簡單地通過1.0/sqrt(len(a))縮放aft得到正確的答案（注意，N從長度發現變換;真正的FFT只是拋出一半左右的值了，所以它的a長度這很重要）。

我懷疑離開標準化到最後的原因是在大多數情況下，這並不重要，因此您可以節省執行兩次標準化的計算成本。事實上，非常快速的FFTW library不會在任何方向進行任何標準化，並且完全由用戶來處理。

編輯：只是要清楚，上面的解釋是不完全正確的。以這種簡單的縮放比例不會得到正確的答案，因爲在您的情況下，DC分量將被添加兩次，儘管1.0/sqrt(len(a))仍然是產生幺正變換的正確比例。