查找在三角形相交從來自特定側

Question

我知道A，B和C的座標發起矢量..我也知道向量V選自C始發的..

我知道矢量相交叉的和B，我只是不知道如何找到我。

任何人都可以解釋涉及解決這個問題的步驟？

非常感謝。

http://img34.imageshack.us/img34/941/triangleprob.png

Answer 1

 
i = C+kV 
Lets call N the normal to the line A,B so N = [-(B-A).y, (B-A).x] 
Also, for any point on the line: 
(P-A)*N = 0  -- substitute from line 1 above: 
(C+kV-A)*N = 0 
(kV+C-A)*N = 0 
kV*N + (C-A)*N = 0 
kV*N = (A-C)*N 
k = [(A-C)*N]/V*N 
Now that we have k, plug it into line 1 above to get i. 

在這裏，我使用*表示點積，因此擴展到常規乘法：

 
k = ((A.x-C.x)*-(B.y-A.y) + (A.y-C.y)*(B.x-A.x))/(V.x*-(B.y-A.y) + V.x*(B.x-A.x)) 
I.x = C.x + k*V.x 
I.y = C.y + k*V.y 

除非我搞砸東西p ....

Answer 2

如果你知道A和B，你知道該線AB方程，你說你知道V，這樣你就可以形成線V中的公式....嗯，我只是點滿足這兩個方程。

方程線AB：

(bx-ax)(Y-ay) = (by-ay)(X-ax) 

如果knpow方向（或斜率= M）的矢量，並且其位於所述載體的任何點，則線的爲向量V的方程式是

Y = MX = b

其中m是直線的斜率或方向，並且y座標b其中它穿過thevertical Y =軸線（其中X = 0）

如果知道就行了點（即，C =（S，T），那麼您求解由B：

t = ms + b ==> b = t - ms，

所以方程變爲

Y = mX + t-ms 

Answer 3

簡單的代數。困難的部分往往只是寫下基本的方程式，但一旦寫下來，其餘的很容易。

您可以定義一個從點C = [c_x，c_y]發出的線，並沿向量V = [v_x，v_y]指向嗎？表示這樣一條線的一個好方法是使用參數表示法。因此，

V(t) = C + t*V 

在向量元素方面，我們把它作爲

V(t) = [c_x + t*v_x, c_y + t*v_y] 

看看它是如何工作。當t = 0時，我們得到C點，但是對於任何其他的t值，我們得到線上的其他點。

通過A和B的線段如何？解決這個問題的一種方法是以相同的方式參數化地定義第二條線。然後求解兩個未知數的兩個方程組來找到相交點。

更簡單的方法是查看線段AB的法線向量。該向量如下給出：

N = [b_y - a_y , a_x - b_x]/sqrt((b_x - a_x)^2 + (b_y - a_y)^2) 

注意N在這裏被定義爲具有單位範數。

所以現在，我們什麼時候知道某個點是否恰好位於連接A和B的線上？現在這很簡單。當下面定義的點積恰好爲零時會發生這種情況。

dot(N,V(t) - A) = 0 

擴大這個，並解決參數t。我們可以用點積寫下來。

t = dot(N,A-C)/dot(N,V) 

或者，如果你願意的話，

t = (N_x*(a_x - c_x) + N_y*(a_y - c_y))/(N_x*v_x + N_y*v_y)) 

一旦我們有T，代入上面的V（t）的表達。讓我們在實踐中看到所有這些工作。我會挑選一些分A，B，C和矢量V

A = [7, 3] 
B = [2, 5] 
C = [1, 0] 

V = [1, 1] 

我們的法向量N，正常化後，會看起來像

N = [0.371390676354104, 0.928476690885259] 

行參數，T，然後

t = 3.85714285714286 

我們找到交叉點作爲

C + t*V = [4.85714285714286, 3.85714285714286] 

如果您將這些點繪製在一張紙上，它們應該全部合在一起，而且所有內容都只有幾個簡單的表達式。