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有沒有人有算法評估超幾何函數的經驗？我會對一般參考文獻感興趣，但如果有人處理了它，我會描述我的特殊問題。超幾何函數的有效評估
我的具體問題是評估形式3F2（a，b，1; c，d; 1）的函數，其中a，b，c和d都是正實數，c + d> a + b + 1。有許多特殊情況具有封閉式公式，但據我所知，通常沒有這樣的公式。以0爲中心的冪級數收斂於1，但非常緩慢;連續係數的比例在極限中變爲1。也許像Aitken加速會有所幫助？
A
回答
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你想總結一個系列，你知道連續項的比例並且它是一個有理函數嗎？
我認爲Gosper's algorithm和其他工具，用於證明hypergeometric identities（並找到它們）做到這一點，對吧？ （見Wilf和Zielberger的A=B book online.）
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我測試了Aitken加速度，它似乎對這個問題沒有幫助（理查森外推法也沒有）。這可能意味着Pade近似也不起作用。儘管如此，我可能會做一些錯誤的事情，所以一定要爲自己嘗試一下。
我可以想到兩種方法。
其中之一是在某一點評估系列，如z = 0.5，其中收斂很快以獲得初始值，然後通過將hypergeometric differential equation插入到ODE求解器中，前進到z = 1。我不知道這在實踐中有多好，它可能不會，因爲z = 1是一個奇點（如果我沒記錯的話）。
其次是根據Meijer G-function使用3F2的定義。定義Meijer G函數的輪廓積分可以通過對輪廓線段應用高斯或雙指數正交來進行數值計算。這不是非常有效，但它應該工作，它應該擴展到相對較高的精度。
是的，係數係數的比例是指數的有理函數。但我還沒有找到有用的超幾何身份。 http://functions.wolfram.com/列出了成千上萬的身份，但他們都沒有幫助。 – 2009-01-25 23:39:46
我不太瞭解 - 不要這些算法*找到*身份以及？我沒有詳細閱讀A = B書，但它提到的Maple軟件包可能會有更好的實現... – ShreevatsaR 2009-01-26 01:34:26