atan2近似11位尾數在x86（與SSE2）和ARM（與vfpv4 NEON）

Question

我試圖以11位精度尾數實現快速atan2（浮點數）。atan2實現將用於圖像處理。 所以用SIMD指令（impl瞄準x86（帶有SSE2）& ARM（帶有vpfv4 NEON））可能會更好。

現在，我使用切比雪夫多項式近似（https://jp.mathworks.com/help/fixedpoint/examples/calculate-fixed-point-arctangent.html）。

我願意手動實現矢量化代碼。 我將使用SSE2（或更高版本）& NEON包裝庫。 我計劃或嘗試這些實現選項

• 矢量多項式逼近
  • 切比雪夫多項式（現已實現）
• 標查找表（+線性插值）
• 量化的查找表（這是可能的嗎？我不熟悉NEON，所以我不知道NEON中的一些指令，如VGATHER）
• 矢量化的CORDIC方法（這可能是緩慢的，因爲它需要12次旋轉迭代才能獲得11位準確度）

其他好主意？

Answer 1

您想要檢查的第一件事是您的編譯器是否能夠在應用於float的數組時向量化atan2f (y,x)。這通常需要至少一個較高的優化級別，如-O3，並且可能會指定一個寬鬆的「快速數學」模式，其中errno處理，非規範化和特殊輸入（如infinities和NaN）在很大程度上被忽略。採用這種方法，準確度可能遠遠超出要求的範圍，但在性能方面可能很難打敗仔細調整過的庫實現。

接下來要嘗試的是編寫一個具有足夠準確性的簡單標量實現，並讓編譯器對其進行矢量化。通常這意味着避免任何事情，但只能通過if轉換轉換爲無分支代碼的非常簡單的分支。這種代碼的一個例子是fast_atan2f()，如下所示。使用英特爾編譯器，調用爲icl /O3 /fp:precise /Qvec_report=2 my_atan2f.c，這是成功向量化的：my_atan2f.c(67): (col. 9) remark: LOOP WAS VECTORIZED.通過反彙編對生成的代碼進行雙重檢查表明fast_atan2f()已使用*ps風格的SSE指令進行內聯和向量化。

如果一切都失敗了，您可以手動將fast_atan2()的代碼轉換爲平臺特定的SIMD內在函數，這不應該很難完成。儘管如此，我沒有足夠的經驗來做到這一點。

我在這段代碼中使用了一個非常簡單的算法，它是一個在[0,1]中生成簡化參數的簡單參數約簡，接着是最小多項式近似，最後一步將結果映射回完整的循環。 Core近似是用Remez算法生成的，並使用二階霍納方案進行評估。在可用的地方可以使用熔融多次加法（FMA）。爲了表現，不處理涉及infinities，NaNs或0/0的特殊情況。

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
#include <math.h> 

/* maximum relative error about 3.6e-5 */ 
float fast_atan2f (float y, float x) 
{ 
    float a, r, s, t, c, q, ax, ay, mx, mn; 
    ax = fabsf (x); 
    ay = fabsf (y); 
    mx = fmaxf (ay, ax); 
    mn = fminf (ay, ax); 
    a = mn/mx; 
    /* Minimax polynomial approximation to atan(a) on [0,1] */ 
    s = a * a; 
    c = s * a; 
    q = s * s; 
    r = 0.024840285f * q + 0.18681418f; 
    t = -0.094097948f * q - 0.33213072f; 
    r = r * s + t; 
    r = r * c + a; 
    /* Map to full circle */ 
    if (ay > ax) r = 1.57079637f - r; 
    if (x < 0) r = 3.14159274f - r; 
    if (y < 0) r = -r; 
    return r; 
} 

/* Fixes via: Greg Rose, KISS: A Bit Too Simple. http://eprint.iacr.org/2011/007 */ 
static unsigned int z=362436069,w=521288629,jsr=362436069,jcong=123456789; 
#define znew (z=36969*(z&0xffff)+(z>>16)) 
#define wnew (w=18000*(w&0xffff)+(w>>16)) 
#define MWC ((znew<<16)+wnew) 
#define SHR3 (jsr^=(jsr<<13),jsr^=(jsr>>17),jsr^=(jsr<<5)) /* 2^32-1 */ 
#define CONG (jcong=69069*jcong+13579)      /* 2^32 */ 
#define KISS ((MWC^CONG)+SHR3) 

float rand_float(void) 
{ 
    volatile union { 
     float f; 
     unsigned int i; 
    } cvt; 
    do { 
     cvt.i = KISS; 
    } while (isnan(cvt.f) || isinf (cvt.f) || (fabsf (cvt.f) < powf (2.0f, -126))); 
    return cvt.f; 
} 

int main (void) 
{ 
    const int N = 10000; 
    const int M = 100000; 
    float ref, relerr, maxrelerr = 0.0f; 
    float arga[N], argb[N], res[N]; 
    int i, j; 

    printf ("testing atan2() with %d test vectors\n", N*M); 

    for (j = 0; j < M; j++) { 
     for (i = 0; i < N; i++) { 
      arga[i] = rand_float(); 
      argb[i] = rand_float(); 
     } 

     // This loop should be vectorized 
     for (i = 0; i < N; i++) { 
      res[i] = fast_atan2f (argb[i], arga[i]); 
     } 

     for (i = 0; i < N; i++) { 
      ref = (float) atan2 ((double)argb[i], (double)arga[i]); 
      relerr = (res[i] - ref)/ref; 
      if ((fabsf (relerr) > maxrelerr) && 
       (fabsf (ref) >= powf (2.0f, -126))) { // result not denormal 
       maxrelerr = fabsf (relerr); 
      } 
     } 
    }; 

    printf ("max rel err = % 15.8e\n\n", maxrelerr); 

    printf ("atan2(1,0) = % 15.8e\n", fast_atan2f(1,0)); 
    printf ("atan2(-1,0) = % 15.8e\n", fast_atan2f(-1,0)); 
    printf ("atan2(0,1) = % 15.8e\n", fast_atan2f(0,1)); 
    printf ("atan2(0,-1) = % 15.8e\n", fast_atan2f(0,-1)); 
    return EXIT_SUCCESS; 
} 

程序的輸出上面應類似於以下內容：

testing atan2() with 1000000000 test vectors 
max rel err = 3.53486939e-005 

atan2(1,0) = 1.57079637e+000 
atan2(-1,0) = -1.57079637e+000 
atan2(0,1) = 0.00000000e+000 
atan2(0,-1) = 3.14159274e+000