兩條線之間的最短距離

Question

假設L1和L2是3D中的兩條線，假設P1和P2是L1，L2和L2上的兩個點。使得距離（P2-P1）是L1和L2之間的最短距離。矢量（P2-P1）是否需要垂直於L1和L2？如果是這樣，那爲什麼？ 2D空間也是如此嗎？

Answer 1

是的，這是真的。想象這條線，垂直於L1和L2。有兩種情況，L1和L2是平行的（在這種情況下，兩者之間的所有垂直線是等效的，或者它們就像安裝在同一根軸上的兩個螺旋槳一樣，但角度不同）軸（這是唯一的垂直於兩個螺旋槳）表示最短距離，因爲無論沿螺旋槳移動哪個方向遠離軸，都明顯增加了距離，因爲任何這樣的線將形成直角三角形的第三個斜邊，一邊等於軸本身，另一側等於沿着螺旋槳的運動

如果你沿兩個螺旋槳移動，顯然，如果你從相反的方向離開軸，你正在增加距離。螺旋槳幾乎是對齊的，並且你沿着兩個螺旋槳在同一方向移動，兩點之間的界線ts將再次取直角三角形的斜邊，其中一邊是兩個螺旋槳的自旋平面之間的距離，另一邊是兩個螺旋槳之一的旋轉平面中的線。

Answer 2

採取函數L1×L2 - > \ r，對於兩個點P和Q在L1和L2分別給出它們之間的平方距離：

f: L1×L2 -> \R 
f(P, Q) = d(P, Q)^2 = (Q - P) . (Q - P) 

其中(Q - P)是一個向量和.是標量產品。由於函數f在（P1，P2）處具有最小值，所以在（P1，P2）處的微分df/dP和df/dQ爲零。更重要的是：

df/dP = dP . (Q - P) 
df/dQ = dQ . (Q - P) 

如果一個評估（P1，P2），其中的差別是零，即讓這些方程：

DP。 （P2-P1）= 0 dQ。 （P2-P1）= 0

dP和dQ是分別與L1和L2共線的向量。這兩個方程表示必然地，矢量P2 - P1垂直於L1和L2的方向矢量。