從圓上的一個點到相反的切線繪製一條線？ AS3中的錐體/楔形形狀

Question

這應該是一個簡單的幾何體：我如何計算在下面的代碼中繪製線條的點，以使其形成二維錐體或楔形形狀？

import flash.geom.Point; 

//draw circle 
var mc=new Sprite() 
mc.graphics.lineStyle(0,0) 
mc.graphics.drawCircle(0,0,30) 
mc.x=mc.y=Math.random()*300+100 
addChild(mc) 

//draw lines: 
graphics.lineStyle(0,0) 
var p=new Point(Math.random()*500,Math.random()*400) 
graphics.moveTo(p.x, p.y) 
graphics.lineTo(mc.x,mc.y) // << should be point on edge of circle 
graphics.moveTo(p.x, p.y) 
graphics.lineTo(mc.x,mc.y) // << should be point on opposite edge of circle 

UPDATE：
感謝球員，我應該提到我的目的不是畫一個楔形，而是從一個隨機點到現有圈子的邊緣畫一條線。

如果你比動作更適合代數，也許你可以看看這個圖形併爲我發佈公式？

Answer 1

你的問題是關於泰勒斯定理（見http://en.wikipedia.org/wiki/Thales%27_theorem）。

以下是對AS3稍加修改的定理。

import flash.geom.Point;

// The radius of the circle 
var r1:Number = 30; 
// The center point of the circle 
var cp:Number = Math.random() * 300+100; 
var c:Point = new Point(cp, cp); 

// draw circle 
var mc=new Sprite(); 
mc.graphics.lineStyle(0,0); 
mc.graphics.drawCircle(0,0,r1); 
mc.x = mc.y = cp; 
addChild(mc); 

// The point 
var p = new Point(Math.random() * 500, Math.random() * 400); 

// Calculate points for intesecting circle 
var c2:Point = Point.interpolate(c, p, 0.5); 
var r2:Number = Point.distance(c2, c); 
var d:Number = Point.distance(c, c2); 

// Remove comment below to see intersecting circle 
//graphics.beginFill(0xFF0000, 0.25); 
//graphics.drawCircle(c2.x, c2.y, r2); 

var a:Number = (r1*r1 - r2*r2 + d*d)/(2*d); 
var p2x:Number = c.x + a * (c2.x - c.x)/d; 
var p2y:Number = c.y + a * (c2.y - c.y)/d; 
var h:Number = Math.sqrt(r1*r1 - a*a); 

var d1x:Number = p2x + h * (c2.y - c.y)/d; 
var d1y:Number = p2y - h * (c2.x - c.x)/d; 
var d2x:Number = p2x - h * (c2.y - c.y)/d; 
var d2y:Number = p2y + h * (c2.x - c.x)/d; 

// Draw lines 
graphics.lineStyle(1, 0xFF00FF, 0.5); 
graphics.moveTo(p.x, p.y); 
graphics.lineTo(d1x, d1y); 
graphics.moveTo(p.x, p.y); 
graphics.lineTo(d2x, d2y); 

最終產品：

隨着繪製的第二圓圈（你實際上並不需要在第二圈畫，你只需要它的圓心和半徑）

簽出以下SWF以查看動作（刷新以查看不同的隨機圓圈）：

http://megaswf.com/serve/1097652

Answer 2

graphics.curveTo(controlX,ControlY,endX,endY);

繪製貝塞爾與對照（X，Y）當前點和端部（X，Y）之間的曲線朝向（如Photoshop中的筆工具）彎曲的點。設置爲一半的Delta X並使用Y來調整其強度。

Answer 3

以下是繪製2D楔形圖的代碼片段。您可以調整startAngle和angle變量來控制楔形的角度。半徑將決定形狀的寬度。這應該用在Shape，Sprite，MovieClip或具有圖形對象的某個子類中。

var i:int; 
var p:Point = new Point(); 
var g:Graphics = graphics; 
var radius:Number = 100; 
var startAngle:Number = 130; 
var angle:Number = 280; 
var segments:Number = 40; 
var degrees:Number = (startAngle + (angle - startAngle))/segments; 

g.beginFill(0xFF0000, 1); 
for(i = 0; i <= segments; i++) 
{ 
    p.x = Math.cos(((degrees * i) + startAngle) * Math.PI/180) * radius; 
    p.y = Math.sin(((degrees * i) + startAngle) * Math.PI/180) * radius; 
    g.lineTo(p.x, p.y); 
} 
g.endFill(); 

Answer 4

爲區分點爲P，圓心爲M，並在圓切點爲十三角PMT是一個直角三角形。您可能需要在紙上畫出它，以便更易於理解。

X的位置就是M加上X的位置，即X的邊緣MX。然後計算是關於計算向量MX。

矢量MX可以分解爲兩個垂直分量。一個與MP平行，另一個與MP垂直。首先要做的是在這兩個方向上獲得單位向量。第一個很簡單，因爲它只是MP的標準化版本。通過交換組件和否定一個組件，在2D中很容易獲得垂直向量。由於您最終需要兩條切線，因此此處取消哪個分量無關緊要。

現在我們有了兩個單位向量，我們需要計算出每個向量需要多少來創建徑向向量MX。用θ表示角度PMX，我們用簡單的直角三角形表示cos（θ）= r/| MP |其中r是圓的半徑，| MP |是MP的長度（你已經計算得到你的單位矢量）。

從X到MP的垂線下降給出了另一個直角三角形，其中theta的相對和相鄰邊表示我們需要的兩個分量。這些邊的長度只是MP方向上的r * cos（θ）和垂直方向上的r * sin（theta）。

因此，最終的結果基本上是

X = M + R * COS（THETA）* unit_MP + R * SIN（THETA）* unit_MP_perp_1

爲切點之一，

X = M + r *cosθ* unit_MP + r *sinθ* unit_MP_perp_2

其他。Unit_MP和unit_MP_perp_1/2是我們之前制定的單位向量。 perp矢量的1/2版本對應於否定交換後的第一個或第二個組件。

編輯

在添加的圖而言，方程變爲

X1 = CX + R * COS（THETA）*的Ux + R * SIN（THETA）* U1X
Y1 （x2，y2）= cy + R *cosθ* Uy + R * sin（theta）* U1y

。在這些等式中

COS（THETA）= R/d
SIN（THETA）= A/d

其中d = SQRT（（PX - CX）^ 2 +（PY - CY）^ 2）

和

的Ux =（PX -cx）/ d
Uy的=（PY -cy）/ d

等

U1X = -uy
U1y =的Ux

爲其他切點的垂直單位矢量將是

U2X = Uy的
U2y = -ux

Answer 5

讓(xP, yP)是切線的交點，(xC,yY)是圓的中心，在那裏您正在尋找切點的座標(xT,yT)。進一步讓T爲切線的向量，R爲半徑的向量。由於它們是垂直的，所以你有R . T = 0。

這給了我們

(xT-xC,yT-yC) . (xT-xP, yT-yP) = 0 

讓r是圓的半徑，讓x:=xT-xC, y:=yT-yC, xp:=xP-xC, yp:=yP-yC（基本上，我們把圓分成(0,0)）。 切點在圓上，所以你有x²+y²=r²，因此也有y=sqrt(r²-x²)。

應用於上述公式中的變量置換爲我們提供了：

(x,y) . (x-xp, y-yp) = 0 
x²-xp*x + y²-yp*y = 0 

使用我們有圓信息：

r² -xp*x - yp*sqrt(r²-x²) = 0 
r² -xp*x = yp*sqrt(r²-x²) 
r^4 - 2*r²*xp*x + xp²*x² = yp²*(r²-x²) 
(yp²+xp²)*x² - 2*r²*xp*x + r^4-yp²*r² = 0 

now let a:=yp²+xp², b:=2*r²*xp, c:= (r²-yp²)*r² 
=> ax² + bx + c = 0 

這是一個與quadratic equation 0，1或2個的解決方案。 0，如果P是中的的圓圈，1，如果P是上的圈2，如果P是外圈圈。

我不會把明確的解決方案在這裏，因爲它是一個公式的地獄，它是一個更容易寫，如果你在你的代碼映射在這裏介紹給變量的變量：

var sq:Function = function (f:Number) { return f*f; }, sqrt:Function = Math.sqrt; 
var xp:Number = xP-xC, yp:Number = yP-yC, 
    a:Number = sq(xp)+sq(yp), b:Number = 2*sq(r)*xp, c:Number = sq(r)*(sq(r)-sq(yp)); 
var x1:Number = (-b+sqrt(sq(b)-4*a*c))/(2 * a), 
    x2:Number = (-b+sqrt(sq(b)-4*a*c))/(2 * a); 
if (isNan(x1)) return []; 
var p1:Point = new Point(x1+cX, sqrt(sq(r)-sq(x1))+cY),//calculate y and undo shift 
    p2:Point = new Point(x2+cX, sqrt(sq(r)-sq(x2))+cY); 
return p1.equals(p2) ? [p1] : [p1, p2]; 

祝您好運與此，因爲我非常糟糕微積分，再加上它的4點在這裏，所以你可以打賭，有一個錯誤的地方，但它應該讓你在正確的方向;）