在numpy中的Hermitian矩陣的IFFT

Question

我在paper中讀到了Hermitian矩陣的IFFT是所有實數的矩陣。但我無法使用numpy在Python中重現此操作。

# Hermitian matrix: https://en.wikipedia.org/wiki/Hermitian_matrix 
m = [[2  , 2 + 1j, 4  ], 
    [2 - 1j, 3  , 0 + 1j], 
    [4  , 0 - 1j, 1  ]] 
m = numpy.matrix(m) 
im = numpy.fft.ifft2(m) 
print im 

這使得它不僅是實數如下：

[[ 2.00000000+0.j   0.42955838-0.16666667j 0.23710829-0.16666667j] 
[ 0.23710829+0.16666667j -0.66666667-0.57735027j 0.38490018+0.j  ] 
[ 0.42955838+0.16666667j -0.38490018+0.j   -0.66666667+0.57735027j]] 

是我的埃爾米特矩陣理解了嗎？或者我使用numpy錯誤？

Answer 1

我認爲這篇論文提到了稍微不同的東西。 Hermitian矩陣是一個等於它的複共軛轉置的矩陣。然而，實際投入的fft是「Hermite對稱」。它等於它的複共軛，但不等於它的複共軛轉置。

在一個側面說明中，我可能會覺得這個詞有點混亂，因爲我唯一聽說過「hermite-symmetric」矩陣的時候是在真實值的fft中。儘管如此，我90％確定這是該文件所指的。

你確實有一個埃爾米特矩陣輸入：

In [4]: np.allclose(m, np.conj(m).T) 
Out[4]: True 

但它不是「埃爾米特對稱」：

In [5]: np.allclose(m, np.conj(m)) 
Out[5]: False 

---

然而，讓我們來看看，當我們採取什麼樣的情況實際值的fft：

In [6]: data = np.arange(9).reshape(3, 3) 

In [7]: result = np.fft.fft2(data) 

請注意，由此產生的fft與它的複共軛（幾乎）是相同的（我不明白一個術語的符號存在差異。我會很感激的解釋，如果有人知道！）：

In [8]: result 
Out[8]: 
array([[ 36.0+0.j , -4.5+2.6j, -4.5-2.6j], 
     [-13.5+7.8j, 0.0+0.j , 0.0+0.j ], 
     [-13.5-7.8j, 0.0+0.j , 0.0+0.j ]]) 

In [9]: np.conj(result) 
Out[9]: 
array([[ 36.0-0.j , -4.5-2.6j, -4.5+2.6j], 
     [-13.5-7.8j, 0.0-0.j , 0.0-0.j ], 
     [-13.5+7.8j, 0.0-0.j , 0.0-0.j ]]) 

但它不是埃爾米特，因爲它不等於其共軛複數：

In [10]: np.conj(result).T 
Out[10]: 
array([[ 36.0-0.j , -13.5-7.8j, -13.5+7.8j], 
     [ -4.5-2.6j, 0.0-0.j , 0.0-0.j ], 
     [ -4.5+2.6j, 0.0-0.j , 0.0-0.j ]]) 

無論如何，這可能不是完整的答案，但希望它能讓你向正確的方向邁出一步。在實踐中，如果您使用的是實際輸入，並且只想獲得實際輸出，請使用np.fft.rfft和np.fft.irff（以及irfft2版本，在此2D情況下）。同樣，在計算Hermitian矩陣的特徵值/向量並僅需要實際輸出時，請看eigh和eigvalsh。

---