爲什麼isequaln（f，簡化（f））是錯誤的？

Question

我有一個函數f被定義爲：

syms c a t 
f = symfun(c + t - (2*(t - 2^(1/2)*(a*t)^(1/2))*(a - t/2))/(2*a - t), [c a t]) 

然而，檢查與簡化版產量平等：

isequaln(f, simplify(f)) 

ans = 

    0 

是simplify預計不會回到原來的功能完全等效？

Answer 1

與isequaln

的sym/isequaln這個問題可能是沒有相應的功能，用它來測試平等。從sym/isequaln：

isequaln（A，B）返回true如果A和B是相同的處理NaNs相等。

正如@ Benoit_11暗示，該文件並不完全清楚，但是，喜歡它的數字等效，功能似乎是爲測試equality, not identity（儘管遺憾地使用了這個詞「相同」的）。簡化函數是非簡化函數的標識，但它不是等價的。根據文檔，sym/isequaln可能會考慮諸如assumptions以及可能的簡單關係，但不會在內部執行轉換和簡化。這幾乎可以肯定，因爲簡化是一個計算成本高昂的過程，所以很可能只是一個設計決策，只包括一些定義明確（但沒有很好記錄）的測試。

與陷阱

所以可能的解決方案，你怎麼處理？除了sym/isequaln的符號數學工具箱包括isAlways測試平等和和不平等有點更嚴格：

syms c a t 
f = symfun(c + t - (2*(t - 2^(1/2)*(a*t)^(1/2))*(a - t/2))/(2*a - t), [c a t]) 
g = simplify(f) 
isAlways(f==g) 

然而，在R2014b這個返回false及以下警告：

Warning: Cannot prove 'c + t - ((2*t - 2*2^(1/2)*(a*t)^(1/2))*(a - t/2))/(2*a - t) == c + 
2^(1/2)*(a*t)^(1/2)'. 
> In /Applications/MATLAB_R2014b.app/toolbox/symbolic/symbolic/symengine.p>symengine at 56 
    In sym.isAlways at 38 

你應該請注意，假定符號變量默認情況下是複雜的，並且isAlways正試圖證明的所有可能組合的這種關係c,a和t。簡化也是一個不明確的過程 - 從文檔simplify：

簡化數學表達式不是一個明確定義的主題。關於哪種形式的表達最簡單，沒有普遍的想法。對於一個問題來說最簡單的數學表達式的形式可能很複雜，或者甚至不適用於另一個問題。

如果仔細觀察原始公式，您會發現它包含一個已被簡化的奇點。在R2014b，評估g(1,1,2)回報3，但評估f(1,1,2)回報：

Error using mupadmex 
Error in MuPAD command: Division by zero. [_power] 
    Evaluating: _symans_32_15992 

... 

使用的假設

如果你知道一些關於你的符號變量，您可以通過應用的假設，例如爲了避免這種

syms c a t 
f = symfun(c + t - (2*(t - 2^(1/2)*(a*t)^(1/2))*(a - t/2))/(2*a - t), [c a t]) 
g = simplify(f) 
assume(t>2*a) 
isAlways(f==g) 

現在返回true。順便說一句，使用@ Benoit_11的例子，syms a b; isAlways((a+b)^2==a^2+2*a*b+b^2)也直接返回true。

Answer 2

函數簡化返回您提供的函數的最簡單的代數形式。據Matlab的文檔：

isequaln遞歸比較符號數據結構 的內容和對象的屬性。如果各個 位置中的所有內容均相等，則isequaln返回邏輯1（真）。

它的晦澀難懂我Matlab的如何檢查「在相應位置中的內容」，但看起來雖然簡單的功能是代數相當於原來，它的「內容」是不是在同一位置比原來的所以Matlab認爲它們是不同的。

作爲@horchler在評論理所當然mentionned，測試2層的功能平等與一組輸入參數是幾乎沒有一個堅實的證據，如以下，所以採取此答案與一粒鹽：

%//Define f and S = simplify(f); 
syms c a t 
f = symfun(c + t - (2*(t - 2^(1/2)*(a*t)^(1/2))*(a - t/2))/(2*a - t), [c a t]) 

f(c, a, t) = 

c + t - ((2*t - 2*2^(1/2)*(a*t)^(1/2))*(a - t/2))/(2*a - t) 

S = simplify(f) 

S(c, a, t) = 

c + 2^(1/2)*(a*t)^(1/2) 

%// Check with dummy arguments: 

isequaln(f(1,2,3),S(1,2,3)) 

ans = 

    1 %// seems to work... 

出於好奇，如果我們比較兩個功能，即（A + b）^ 2和^ 2 + 2AB + b^2（這是相同的），並檢查是否相等：

syms a b 
x1 = symfun(a^2+2*a*b+b^2,[a b]) 

x1(a, b) = 

a^2 + 2*a*b + b^2 

x2 = symfun((a+b)^2,[a b]) 

x2(a, b) = 

(a + b)^2 

isequaln(x1,x2) 

ans = 

    0 

我們得到錯誤的再次，儘管它們是相同的。

因此要回答這個問題'爲什麼isequaln（f，簡化（f））是錯誤的？'我想說這是因爲MATLAB在內部以不同的方式組織它們的內容，所以它們看起來像2個不同的功能。我知道這不是一個很好的解釋，但無論如何，我希望這有幫助。