單位球體上的統一隨機（蒙特卡洛）分佈

我需要澄清一下算法，爲我的寵物射線跟蹤儀生成隨機值。
我從一個點發射射線。我有這些射線分佈的問題：我需要的分佈是統一的，但它不是...單位球體上的統一隨機（蒙特卡洛）分佈

我現在面臨的問題是，最初統一的分佈是不統一後，我的扭曲結果的空間。

因此，例如，如果極座標系統生成r和t角度。分佈不均勻，並且不均勻：靠近每個極點的空間比靠近赤道的結果密度要大得多。原因很明顯：我將均勻分佈的點從圓柱空間轉換爲球形空間。我扭曲了結果。同樣的問題是，如果我規範化多維數據集中隨機生成的點。

我的想法現在是這樣的：我想創建一個四面體，規範其頂點，用中間的點分割每個面（三角形），歸一化它並遞歸地重複，直到我有足夠的點。然後我「扭曲」這些點。然後我再次正常化它們。而已。

我知道這種方法不是純粹的數學蒙特卡洛方法本身，因爲除了最後一個步驟外，我沒有在任何步驟中使用隨機分佈。我不喜歡這種複雜性的解決方案。

任何人都可以提出什麼更簡單，但仍

隨機
均勻
快速
簡單

謝謝！

編輯：
我需要一個快速的方法，而不是正確的。這就是爲什麼我要問蒙特卡洛。提供的答案是正確的，但不是很快。四面體的方法很快，但不是很「隨機」=>不正確。
我真的需要更適合的東西。

來源

2009-12-03 avp

Here's的算法，使您可以生成隨機分佈在單位球面上的點。

來源

2009-12-03 16:29:57

我不知道這是否任何意義可言，但在這裏你去：

Uniform Fractional Part: A Simple Fast Method for Generating Continuous Random Variates

來源

2009-12-03 16:26:21

你是對的，這不是真的答案，但它是非常有趣的閱讀。 – avp 2009-12-03 18:05:45

對於球面部分，在極限之間的phi（極角）和cos(theta)（對於θ方位角）均勻地生成角度。

在僞代碼：

phi = phi_low_limit  + rand()*(phi_high_limit  - phi_low_limit) 
ct = cos(theta_high_limit) + rand()*(cos(theta_low_limit) - cos(theta_high_limit)) 
// The order is inverted here because cos heads down for increasing theta 
theta = arccos(ct)

這是說反轉Jacobian並在那些座標是空間均勻地產生規則的特例。

注意：請注意，我使用的是來自David Norman line的phi和theta的相反約定。

另請注意：這實際上並不是最快的方法，而是一個說明總體原則的方法。

來源

2009-12-03 17:33:00 dmckee

除非你是光線跟蹤只有微不足道的場景，你的渲染時間是否真的被採樣時間控制？如果不是，那麼可能不值得優化，但值得閱讀和理解其他答案中給出的統一抽樣技術。另外，您的樣本不需要非常隨機，可以很好地估計您要採樣的任何功能。您可能需要使用quasirandom編號序列進行調查，如Halton sequence。你的四面體細分思想並不差。對於大多數場景來說，它應該導致分佈良好的點應該比統一的僞隨機樣本更好，但在某些情況下可能會導致可怕的僞像。

無論如何，你真的應該參考ompf.org上的論壇。那邊有一些超級硬核射線追蹤的書呆子。

來源

2009-12-05 08:52:36

嘿，真的很好鏈接！ – avp 2009-12-07 13:08:58

我的意思是，ompf.org =） – avp 2009-12-07 13:09:31

這裏有一個Java實現，我在過去使用：

public static double[] randomPointOnSphere(Random rnd) 
{ 
    double x, y, z, d2; 
    do { 
     x = rnd.nextGaussian(); 
     y = rnd.nextGaussian(); 
     z = rnd.nextGaussian(); 
     d2 = x*x + y*y + z*z; 
    } while (d2 <= Double.MIN_NORMAL); 
    double s = Math.sqrt(1.0/d2); 
    return new double[] {x*s, y*s, z*s}; 
}

來源

2011-01-24 16:33:34 finnw

@DouglasZare如果'd2 finnw 2014-07-25 17:36:46

糟糕，我的錯誤。 – 2014-07-25 18:36:52

你真的需要隨機分佈或者甚至超過球體分佈？

然後我會建議ZCW角度，這些角度均勻地分佈在整個球體上並且快速計算。其他方法是TheSydneyOperaHouse（SOPHE）和Repulsion。（搜索repulsion.c）排斥方法相當不錯，但速度很慢：它在一個球體上均勻迭代地分佈點。幸運的是，它只能做一次。

這是用於晶體學和核磁共振，因爲對於粉末模式，使用均勻分佈與隨機分佈（您需要更少的點）更快。

Here是ZCW的Python實現。

更多細節在這些文章：

Investigations of a nonrandom numerical method for multidimensional integration，程，維拉B.和Henry H.鈴川，Jr.和沃爾夫斯堡，最大
Computer simulations in solid-state NMR. III. Powder averaging，馬蒂亞斯伊甸園

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2011-10-31 10:04:11 mrossi

單位球體上的統一隨機（蒙特卡洛）分佈

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